Étude des systèmes électriques : Condensateur et circuit RC
Étude des systèmes électriques/Condensateur et circuit RC

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**Condensateur et circuit RC**
Leçon : Étude des systèmes électriques

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Bobine d'induction et circuit RL

Symbole du condensateur dans un circuit.

Sommaire

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[modifier] Le condensateur

Il existe différentes formes et différents types de condensateurs. Un condensateur est un dipôle constitué de 2 lames métalliques (les armatures) séparées par un isolant (aussi appelé diélectrique).

Rôle du condensateur : il permet d'emmagasiner l'énergie et de la redistribuer quand il y en a besoin.

[modifier] Charge d'un condensateur

Les charges s'accumulent sur les armatures.

Lorsqu'on soumet le condensateur à une tension électrique, il se charge. Une fois chargé, il conserve ses charges sur ses armatures même lorsqu'on le débranche : c'est un réservoir électrique. Si on relie les deux bornes d'un condensateur chargé par un fil électrique il se décharge immédiatement ; il ne faut donc pas toucher les deux bornes d'un condensateur chargé (il y a un risque de choc électrique).

[modifier] Description du fonctionnement

Le générateur peut être considéré comme une pompe à électrons. À chaque fois qu'un électron arrive sur l'armature $a$ un électron de l'armature $b$ se dirige vers la borne positive de la pile. Si une charge négative quitte l'armature $b$ alors il apparait sur cette armature une charge positive. À chaque instant $q a = - q b$ . Petit à petit, il se crée une différence de potentiel électrique entre les armatures $a$ et $b$ . Quand cette différence de potentiel (c'est-à-dire la tension) est égale à celle de la pile, le condensateur est chargé. Le courant ne circule plus dans le circuit.

[modifier] Relation entre intensité et charge du condensateur

[modifier] Définition de l'intensité

La variation d'intensité dans un condensateur est décrite par la formule suivante :

$i = lim_{Delta t to 0} frac{Delta q}{Delta t}$

donc

$i = frac{dq}{dt}$

$[A] = frac{[C]}{[s]}$

où $q$ est la charge électrique portée par l'une des deux armatures et exprimée en coulomb (symbole $C$ ). Cette intensité peut être soit positive soit négative, selon que le condensateur se charge ou se décharge.

[modifier] Relations entre les charges

Un électron a une charge négative. Lorsqu'un condensateur est chargé, l'une des armatures présente un excès d'électrons et l'autre armature présente un défaut d'électrons. Soit un condensateur constitué de deux armatures notées $a$ et $b$ . Les charges aux bornes d'un condensateur sont égales mais opposées. On note :

$q_a = -q_b = q,$

[modifier] Capacité d'un condensateur

Condensateurs chimiques de différentes capacités.

La charge $q$ d'un condensateur est proportionnelle à la tension à ses bornes. On note :

$q = Ctimes u_c$

$[C] = [F]times [V]$

$C$ est la capacité du condensateur, elle s'exprime en farads (symbole $F$ ).

Comme le farad est une unité très grande, les capacités que l'on rencontre le plus fréquemment s'échelonnent entre $10 - 3$ et $10 - 12$ farad, c'est-à-dire entre le millifarad ( $m F$ ) et le picofarad ( $p F$ ).

[modifier] Condensateur en convention récepteur

Schéma en convention récepteur.

Lors de la charge ou de la décharge du condensateur, $q$ change.

$q$ est une fonction du temps : $q (t)$ .

$i(t) = frac{dq(t)}{dt}$ or $q (t) = C . u C (t)$ donc $i(t) = frac{dC.u_C(t)}{dt} = C.frac{du_C(t)}{dt}$

$i = frac{Cdu}{dt}$ pour $u$ et $i$ de sens « opposés ». Si $u$ et $i$ sont de même « sens » :

[modifier] Réponse d'un circuit RC à un échelon de tension

On appelle échelon de tension le passage brutal de la tension d'une valeur nulle à une valeur non nulle.
$u_c(0) = 0,$

[modifier] Équation différentielle

Schéma 1

D'après la loi d'additivité des tensions, $E = u_R+u_c,$

D'après la loi d'Ohm, $u_R = Ri,$

Donc $E = Ri+u_c,$

Par définition $i = frac{dq}{dt}$ et $q = Cu_c,$

Donc $i = frac{d(Cu_c)}{dt} = Cfrac{du_c}{dt}$

Donc $E = RCfrac{du_c}{dt} + u_c,$

Équation différentielle du circuit RC :

$frac{E}{RC} = frac{du_c}{dt}+frac{1}{RC}u_c$

[modifier] Solution

La solution de cette équation différentielle est de la forme $u_c(t) = Ae^{-kt}+B,$

quand $trightarrowinfty , u_c = B$ d'où $B = E,$
quand $t = 0,$ , $u_c(0) = 0 = A+B,$ d'où $A = -B = -E,$
$frac{d(-Ee^{-kt}+E)}{dt}+frac{1}{RC}(-Ee^{-kt}+E) = frac{E}{RC}$

$Rightarrow-k(-Ee^{-kt})+frac{1}{RC}(-Ee^{-kt}+E) = frac{E}{RC}$

$iff-k(-Ee^{-kt})+frac{1}{RC}(-Ee^{-kt})+frac{E}{RC} = frac{E}{RC}$

$iff-Ee^{-kt}(-k+frac{1}{RC}) = 0$

Or cela est valable pour toute valeur de t, et notamment pour t = 0 donc $-k+frac{1}{RC} = 0$ donc $k = frac{1}{RC}$

Solution de l'équation différentielle :

Tension aux bornes du condensateur en fonction du temps lors de la charge :
$u_c(t) = -Ee^{-kt}+E,$

$u_c(t) = E(1-e^{-frac{t}{RC}})$ .

[modifier] Constante de temps du circuit RC

[modifier] Expression et analyse dimensionnelle

On pose $tau,$ (tau) tel que Cherchons la dimension de $tau,$ :

$R = frac{u}{i} = frac{[V]}{[A]}$ et $C = frac{q}{u} = frac{i.t}{u} = frac{[A].[s]}{[V]}$

or $tau, = R.C,$ donc $tau, = frac{[V].[A].[s]}{[A].[V]}$

$Rightarrow$

$tau = [s],$

Le produit $R . C$ est donc un temps. En unités internationales, $tau,$ s'exprime en secondes. On l'appelle la constante de temps du circuit RC.

[modifier] Détermination de la constante de temps

Tracer la courbe de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps lors de sa charge.
Tracer une droite d'ordonnée la valeur finale de la charge ( $u m a x$ ) du condensateur.
Tracer une droite, partant de l'origine de la courbe et tangente à la courbe en ce même point.
Le point d'intersection des ces deux droites à lieu à l'abscisse d'instant $τ$ et à cette abscisse, l'ordonnée de la courbe vaut $textstyle{(1-e^{-1})u_{max} approx 0,63u_{max}}$

Au cours de la charge du condensateur à travers une résistance $R$ , sous une tension $E$ du générateur :

À $t = τ$ , $u C = 0,63 E$
À $t = 5τ$ , $u C = 0,99 E$ (Le condensateur est pratiquement chargé)

[modifier] Influence des caractéristiques du circuit RC sur $τ$

Comme on l'a vu plus haut, $tau = R cdot C$ , Cela implique que,

Si R augmente, $τ$ augmente;
Si C augmente, $τ$ augmente.

[modifier] Décharge d'un condensateur dans une résistance

$u_c(0) = E,$

[modifier] Établissement de l'équation différentielle

D'après la loi d'additivité des tensions, $u_R + u_c = 0,$
Or $u_R = Ri,$ et $i = frac{dq}{dt} = frac{d(Cu_c)}{dt} = Cfrac{du_c}{dt}$
On remplace : $RCfrac{du_c}{dt} + u_c = 0$
Soit

$frac{du_c}{dt} + u_cfrac{1}{RC} = 0$

[modifier] Solution

On a une solution de la forme $u_c(t) = Ae^{-kt}+B,$

On injecte dans l'équation différentielle :

$frac{d(Ae^{-kt}+B)}{dt} + (Ae^{-kt}+B)frac{1}{RC} = 0$

$-kAe^{-kt} + Ae^{-kt}frac{1}{RC} + Bfrac{1}{RC} = 0$

$Ae^{-kt}left (-k+frac{1}{RC}right ) + frac{B}{RC} = 0$

Par identification des coefficients, $-k+frac{1}{RC} = 0$

d'où $k = frac{1}{RC}$ , de même on trouve $B = 0,$

Les conditions initiales donnent A :

à $t = 0, u_c(0) = E,$ d'où $A = E,$

Solution de l'équation différentielle :

$u_c(t) = Ee^{-frac{t}{RC}}$
soit

$u_c(t) = Ee^{-frac{t}{tau}}$

[modifier] Énergie dans un condensateur

En convention récepteur, la puissance du condensateur s'écrit: p(t)=u(t)*i(t) Or, i(t)=C(du/dt)

On a donc p(t)=u(t)*C(du/dt)=0.5*C*(du²/dt)

Puis dE/dt=p(t), on en déduit:

E(t)=0.5*C*u²;

L'expression de l'énergie dans un condensateur dépend du temps. Sa formule est la suivante :

$E_C = frac{1}{2}Cu_C^2 = frac{1}{2}frac{q^2}{C}$

Démonstration :

L'énergie électrique fournie et emagasinée lors de la charge sous une tension u est de la forme :

$W_E = int_0^t P.dt = int_0^u d(1/2C.u^2) = 1/2 C . u^2$

En effet,

P = u . i = u . C . d u / d t = 1 / 2 C . d u 2 / d t

[modifier] Valeur Équivalente

Il est possible de calculer la valeur équivalentes de plusieurs condensateurs:

En série: $frac{1}{C1} + frac{1}{C2} ... + frac{1}{Cn} = frac{1}{Ceq}$
En parallèles : $C 1 + C 2... + C n = C e q$

Étude des systèmes électriques : Bobine d'induction et circuit RL
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**Bobine d'induction et circuit RL**
Leçon : Étude des systèmes électriques

Chapitre 2
Chap. préc. :	Condensateur et circuit RC
Chap. suiv. :	Oscillations libres dans un circuit RLC

Sommaire

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[modifier] La bobine

Exemples de bobines

Symbole de la bobine dans un circuit

Dans le cas général, une bobine est un dipôle formé par l'enroulement d'un long fil de cuivre autour d'un noyau métallique.
Rôle de la bobine : Elle permet de ralentir l'établissement et la rupture du courant dans un circuit électrique.

[modifier] Action de la bobine

schéma d'un circuit RL
Lorsqu'on soumet une bobine à un courant d'une intensité I, on observe que l'intensité du circuit augmente progressivement jusqu'à atteindre l'intensité I fournie par le générateur. À présent si l'on coupe l'alimentation de ce circuit, l'intensité le parcourant n'atteint 0 qu'au bout d'un laps de temps, la bobine permet donc de ralentir l'installation ou la disparition de l'intensité dans un circuit.

[modifier] Description du fonctionnement

[modifier] Équation différentielle

Grâce à la loi d'additivité des tensions, on peut écrire : $E = u L + u R$
Rappelons également que d'après la loi d'Ohm, nous avons: $U r = R . i$

On a alors $u_L = L.frac{di}{dt}+r.i$ avec r la résistance interne de la bobine. D'où :

$E = L.frac{di}{dt} + r.i + R.i$

Étude des systèmes électriques : Oscillations libres dans un circuit RLC
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**Oscillations libres dans un circuit RLC**
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Chapitre 3
Chap. préc. :	Bobine d'induction et circuit RL

Sommaire

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[modifier] Étude expérimentale

[modifier] Circuit d'étude

[modifier] Observations

Interrupteur en position 1 : charge du condensateur
Interrupteur en position 2 : décharge

On observe des oscillations électriques amorties pseudo-périodiques. On note $T_0,$ la pseudo-période des oscillations.

[modifier] Influence de R

Si, en partant d'un régime pseudo-périodique, on augmente progressivement R, les oscillations s'amortissent de plus en plus vite. On observe également une augmentation de la pseudo-période. Lorsque la résistance atteint une valeur critique, il n'y a plus d'oscillations. Au dela de cette valeur critique, aucun comportement oscillant n'est observé

[modifier] Influence de L et C

Si on garde la même valeur de la capacité et qu'on augmente l'inductance de la bobine, $T_0,$ augmente.
Si on garde la même valeur d'inductance et qu'on augmente la capacité du condensateur, $T_0,$ augmente également.

[modifier] Étude analytique d'un circuit oscillant

On note :

$C,$ la capacité du condensateur
$R,$ la résistance du conducteur ohmique
$L,$ l'inductance de la bobine
$r,$ sa résistance interne

[modifier] Équation différentielle

D'après la loi d'additivité des tensions,
$u_{AM}+u_{MB}+u_{BA} = 0,$

$u_C+Ri+ri+Lfrac{di}{dt} = 0$

or $i = frac{dq}{dt} = frac{d(Cu_C)}{dt} = Cfrac{du_C}{dt}$

Donc $LCfrac{d^2u_C}{dt^2} +(R+r)Cfrac{du_C}{dt}+ u_c = 0$

Où $frac{d^2u_C}{dt^2}$ est la dérivée seconde de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps. On la note aussi $ddot{u_C}$ , par extension de la notation $dot{u_C} = frac{du_C}{dt}$ .
Dans la suite, on étudie un cas particulier de circuit, sans résistance. Le terme dissipatif est donc négligé afin de simplifier la résolution de cette équation différentielle.

[modifier] Cas du circuit LC

Un circuit LC est un circuit RLC sans résistance. Ce circuit est dit idéal, puisqu'il ne peut être réalisé.
L'équation différentielle se réduit donc à :
$LCfrac{d^2u_C}{dt^2}+u_C = 0 Leftrightarrow frac{d^2u_C}{dt^2} = -frac{1}{LC}u_C$

[modifier] Solutions

La fonction mathématique dont la dérivée seconde est l'opposée d'elle-même à une constante près est la fonction cosinus.
Les solutions sont donc de la forme $u_C = Acos{(omega_0t+phi)},$ , avec :

$A,$ : amplitude (tension maximale, en Volts)
$omega_0,$ : pulsation (rad.s⁻¹)
$phi,$ : phase à l'origine

On appelle $omega_0t+phi,$ la phase.
On a $omega_0 > 0,$ et $A > 0,$ .

$A,$ et $phi,$ ne dépendent que des conditions initiales, $omega_0,$ dépend des grandeurs électriques du circuit.

[modifier] Détermination de la pulsation

On a $frac{d^2u_C}{dt^2} = -frac{u_C}{LC}$ .
Or $frac{du_C}{dt} = -Aomega_0sin{(omega_0t+phi)}$
Donc $frac{d^2u_C}{dt^2} = -omega_0^2Acos{(omega_0t+phi)} = -omega_0^2u_C$

D'où $omega_0^2 = frac{1}{LC} Leftrightarrow omega_0 = frac{1}{sqrt{LC}}$

On a donc :

$u_C = Acos{left (frac{1}{sqrt{LC}}t+phiright )}$

[modifier] Détermination des autres constantes (A et phi)

$A,$ va dépendre de la façon dont on a chargé le condensateur
$phi,$ va dépendre du choix de l'instant initial

On prend comme instant initial l'instant $t=0,$ où $u_C = E,$ et $i = 0,$ .

Donc $u_C = E = Acos{phi},$ , or $i=frac{dq}{dt}$
D'où $i = -CAomega_0sin{(omega_0t+phi)},$
$i(0) = -CAomega_0sin{phi} = 0 Rightarrow sin{phi} = 0 Rightarrow phi = 0mbox{ ou }pi$ .
Or comme $A > 0,$ , d'après $E = Acos{phi},$ , $phi = 0,$ et $A = E,$ .

En prenant ces conditions initiales, l'expression de la tension aux bornes du condensateur est donc :

$u_C = Ecos{left (frac{1}{sqrt{LC}}tright )}$

[modifier] Relation entre la pulsation et la pseudo période

On utilise $u_C = Acos{(omega_0t+phi)},$ . On sait qu'une fonction cosinus reprend la même valeur quand l'angle a augmenté de $2pi,$ et aussi au bout d'une période.
Donc $u_C = Acos{(omega_0(t+T_0)+phi)} = Acos{(omega_0t+phi+2pi)},$
$Leftrightarrow Acos{(omega_0t+omega_0T_0+phi)} = Acos{(omega_0t+2pi+phi)}$
$Rightarrow omega_0T_0 = 2pi$ d'où $T_0 = frac{2pi}{omega_0} = 2pisqrt{LC}$ .
$T_0,$ : période propre des oscillations libres d'un circuit LC

[modifier] Influence de la résistance du circuit

Si $R = 0,$ , le régime est périodique de période $T_0,$
Si la résistance est faible, le régime est pseudo périodique de période $T simeq T_0,$
Si la résistance est importante, le régime est dit apériodique

[modifier] Interprétation énergétique

[modifier] Régime périodique (LC)

$W_{circuit} = W_B+W_C = frac{1}{2}Li^2+frac{1}{2}Cu_C^2 = cste$
L'énergie passe sans perte du condensateur vers la bobine.
Exemples :

$t = 0, u_C = U_{max}, i = 0, Rightarrow W_{circuit} = frac{1}{2}CU_{max}^2$
$t = frac{T}{4}, u_C = 0, i = -I_{max} Rightarrow W_{circuit} = frac{1}{2}LI_{max}^2$

[modifier] Régime pseudo-périodique

$W_{circuit} = frac{1}{2}Li^2+frac{1}{2}Cu_C^2 neq cste$ et $W_{circuit},$ décroît.
L'énergie est perdue par effet Joule dans les résistances (conducteur ohmique et résistance interne de la bobine).

[modifier] Entretien des oscillations

Un moyen pour entretenir les oscillations est de compenser la perte d'énergie par un apport extérieur (bien ajusté : au même rythme que les oscillations).
Il existe un circuit, appelé Amplificateur opérationnel (ou ampli-op, AO…) qui est capable de donner de l'énergie à un circuit RLC. Monté convenablement, il peut se comporter comme une résistance négative.

Montage à AOP

Circuit équivalent

AOP en boîtier DIP8

Différents AOP

La partie encadrée en rouge du premier circuit permet de simuler une résistance négative. La tension aux bornes de ce système est alors $u_D = R_Di = -R_4 i,$ . L'équation différentielle du circuit est donc $u_C+(R+r+R_D)i+Lfrac{di}{dt} =0$

Si on ne veut pas d'amortissement des oscillations, on doit avoir $0=R+r+R_D =R+r-R_4 ,$ , ce qui revient à $R_4=R+r ,$ , c'est-à-dire régler $R_4,$ à la même valeur que la somme des résistances présentes dans le circuit.

Si on règle différemment $R_4 ,$ on peut avoir :

des oscillations toujours amorties si $R_D,$ n'est pas assez grande (en valeur absolue), c'est-à-dire si $R_4,$ est trop petite
des oscillations non sinusoïdales si $R_D,$ est trop importante (en valeur absolue), c'est-à-dire si $R_4,$ est trop grande

En pratique, $R_4,$ doit être légèrement supérieure à la somme des résistances du circuit à cause de la résistance des fils conducteurs.

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Sommaire

[modifier] Le condensateur

[modifier] Charge d'un condensateur

[modifier] Description du fonctionnement

[modifier] Relation entre intensité et charge du condensateur

[modifier] Définition de l'intensité

[modifier] Relations entre les charges

[modifier] Capacité d'un condensateur

[modifier] Condensateur en convention récepteur

[modifier] Réponse d'un circuit RC à un échelon de tension

[modifier] Équation différentielle

[modifier] Solution

[modifier] Constante de temps du circuit RC

[modifier] Expression et analyse dimensionnelle

[modifier] Détermination de la constante de temps

[modifier] Influence des caractéristiques du circuit RC sur τ

[modifier] Décharge d'un condensateur dans une résistance

[modifier] Établissement de l'équation différentielle

[modifier] Solution

[modifier] Énergie dans un condensateur

[modifier] Valeur Équivalente

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[modifier] La bobine

[modifier] Action de la bobine

[modifier] Description du fonctionnement

[modifier] Équation différentielle

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[modifier] Étude expérimentale

[modifier] Circuit d'étude

[modifier] Observations

[modifier] Influence de R

[modifier] Influence de L et C

[modifier] Étude analytique d'un circuit oscillant

[modifier] Équation différentielle

[modifier] Cas du circuit LC

[modifier] Solutions

[modifier] Détermination de la pulsation

[modifier] Détermination des autres constantes (A et phi)

[modifier] Relation entre la pulsation et la pseudo période

[modifier] Influence de la résistance du circuit

[modifier] Interprétation énergétique

[modifier] Régime périodique (LC)

[modifier] Régime pseudo-périodique

[modifier] Entretien des oscillations

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