Continuité et variations : Langage de la continuité
Continuité et variations/Langage de la continuité

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**Langage de la continuité**
Leçon : Continuité et variations

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Théorème des valeurs intermédiaires

Sommaire

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[modifier] Définition de la continuité

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.

f est continue en a si sa limite en a est égale à sa valeur en a:

$lim_{x to a} f(x) = f(a)$

f est continue sur I si f est continue en tout a appartenant à I.

Cette situation s'oppose à la suivante : une fonction f est discontinue en un point a si la courbe de f présente une "coupure" en x=a qui oblige à "lever le crayon" pour parcourir la courbe.

[modifier] Continuité des fonctions usuelles

La dérivabilité est un critère utile de continuité pour les fonctions usuelles.

Théorème

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.

Si f est dérivable en a alors f est continue en a.

Remarque:

La réciproque est fausse : la fonction racine carrée est continue en 0 mais non dérivable en 0.

Théorème

Les fonctions polynômes, exponentielle, sinus et cosinus sont continues sur $R$ .
Les sommes, différences, produits, quotients et composées des fonctions précédentes

sont continues sur les intervalles qui forment leur ensemble de définition.

[modifier] Exemple

La fonction inverse est continue sur $]-infty;0[$ et est continue sur $]0;+infty[$ .

Mais elle n'est pas continue sur $R$ car non définie sur $R,$ tout entier.

De plus, cela n'a pas de sens pour nous de se demander si elle est continue sur $]-infty;0[cup ]0;+infty[$

car on n'a défini la continuité que sur un intervalle.

[modifier] La fonction partie entière

Définition

La fonction partie entière est définie sur $R$ en remarquant que pour tout réel x il existe un unique entier n tel que : $nleq x<n+1$ . alors E(x)=n

La fonction partie entière n'est pas continue sur $R$ car elle présente des discontinuités pour tous les entiers.

Continuité et variations : Théorème des valeurs intermédiaires
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**Théorème des valeurs intermédiaires**
Leçon : Continuité et variations

Chapitre 2
Chap. préc. :	Langage de la continuité

[modifier] Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème

Soit $f,$ une fonction continue sur un intervalle $I,$ et $a, b in I,$ .

Pour tout réel $k,$ tel que : $f(a)leq kleq f(b),$ ,

il existe (au moins) un réel $c in [a;b]$ vérifiant l'équation : $f(c)=k,$ .

Exemple

Pour montrer qu'une fonction continue s'annule sur I,

il suffit de montrer qu'elle change de signe.

[modifier] Interprétation graphique

La droite d'équation $y=u,$ coupe au moins une fois la courbe représentative de f.

[modifier] Interprétation en terme d'équations

Propriété

Soit f une fonction continue d'un intervalle I, a et b deux réels de I.

Pour tout réel u compris entre f(a) et f(b),

l'équation f(x)=u admet (au moins) une solution c comprise entre a et b.

Remarque : Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d'existence qui ne précise pas la valeur des solutions.

Néanmoins des méthodes algorithmiques (comme la méthode de dichotomie) l'utilisent pour déterminer des valeurs approchées des solutions.

Continuité et variations : Fonctions continues strictement monotones
Continuité et variations/Fonctions continues strictement monotones

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**Fonctions continues strictement monotones**
Leçon : Continuité et variations

Chapitre 3
Chap. préc. :	Théorème des valeurs intermédiaires

[modifier] Théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones

Théorème

Si $f,$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I=[a;b],$ ,

alors pour tout réel $k,$ tel que : $f(a)leq kleq f(b),$ ,

l'équation $f(x)=k,$ admet une solution $c,$ unique dans $[a;b],$

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Démonstration

Cette démonstration n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

Remarque : Par convention, les flèches d'un tableau de variation indiquent la stricte monotonie, cela permet d'appliquer plus facilement ce théorème.

[modifier] Extensions du théorème à des intervalles ouverts

Théorème

Si $f,$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I=]a;b[,$ , ( a et b pouvant être infinis)

alors pour tout réel $k,$ tel que : $kin ]lim_{x to a} f(x);lim_{x to b} f(x)[,$ ,

l'équation $f(x)=k,$ admet une solution $c,$ unique dans $]a;b[,$

Remarque :

Les limites aux bornes (éventuellement infinies) existent nécessairement en vertu de la monotonie de $f,$ .
On pourrait fabriquer un théorème semblable pour les intervalles semi-ouverts.

[modifier] Exemple : Étude du signe d'une fonction

Soit f la fonction définie sur $R$ par $f (x) = e x + x + 1$ .

1. Démontrer que $f (x) = 0$ admet une solution unique $α$ sur $R$

2. Déterminer une valeur approchée de $α$ au dixième.

3. En déduire le tableau de signe de $f (x)$ sur $R$ .

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Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

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[modifier] Définition de la continuité

[modifier] Continuité des fonctions usuelles

[modifier] Exemple

[modifier] La fonction partie entière

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[modifier] Théorème des valeurs intermédiaires

[modifier] Interprétation graphique

[modifier] Interprétation en terme d'équations

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[modifier] Théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones

[modifier] Extensions du théorème à des intervalles ouverts

[modifier] Exemple : Étude du signe d'une fonction

Continuité et variations : Langage de la continuité
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Continuité et variations : Théorème des valeurs intermédiaires
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Continuité et variations : Fonctions continues strictement monotones
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