Étude de fonctions : Limites et asymptotes
Étude de fonctions/Limites et asymptotes

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**Limites et asymptotes**
Leçon : Étude de fonctions

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Taux de variation

Sommaire

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[modifier] Approche

Soit $f:x mapsto 2x$ .

Que se passe-t-il lorsque $x$ devient de plus en plus grand, autrement dit, lorsque $x$ tend vers l'infini ?
$f (x)$ tend également vers l'infini.

On note : $lim_{x to {+ infty}}f(x) = + infty$ .

On énonce : « la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers ${+ infty}$ est égale à ${+ infty}$ ».

De même, nous pouvons écrire : $lim_{x to -infty}f(x) = -infty$ .

Intéressons-nous maintenant à une valeur précise de $x$ . Par exemple, pour $x = 4$ , $f (x) = 8$ . Mais alors si $x$ tend vers 4, $f (x)$ va s'approcher de plus en plus de $f (4) = 8$ : $lim_{x to 4}f(x) = 8$ .

Soit $g:x mapsto frac{1}{x}$ .

Si $a$ est un réel quelconque, on a bien : $lim_{x to a} g(x) = frac{1}{a}$ .

Lorsque $x$ devient très grand, nous pouvons concevoir que $frac{1}{x}$ devient très petit, se rapprochant de 0 : $lim_{x to {+ infty}} g(x) = 0$ .

De même, quand $x$ prend des valeurs négatives très petites, $lim_{x to {- infty}} g(x) = 0$ .

Soit $h:x mapsto 3x^2-4x+1$ . Essayons de calculer sa limite aux infinis :

$h(x)=3x^2-4x+1,$
$h(x)=3x^2left(1-frac{4}{3x}+frac{1}{3x^2} right)$

or nous savons que :

$lim_{x to +infty}1 = lim_{x to -infty}1 = 1$
$lim_{x to +infty}-frac{4}{3x} = lim_{x to -infty}-frac{4}{3x} = 0$
$lim_{x to +infty}frac{1}{3x^2} = lim_{x to -infty}frac{1}{3x^2} = 0$

donc $lim_{x to +infty} left(1-frac{4}{3x}+frac{1}{3x^2} right) = 1$ et finalement $lim_{x to +infty} {h(x)} = +infty$ .

Plus généralement, calculons la limite d'une fonction polynôme :

Soit $h:x mapsto sum_{i=0}^n a_ix^i$ .

$h(x)=sum_{i=0}^n a_ix^i$
$h(x)=a_nx^n left( sum_{i=0}^n frac{a_ix^i}{a_nx^n} right)$
$h(x)=a_nx^n left( 1+sum_{j=0}^{n-1} frac{a_jx^j}{a_nx^n} right)$
$h(x)=a_nx^n left( 1+sum_{j=0}^n frac{a_j}{a_nx^{n-j}} right)$

Or, lorsque

0 < j < n

$lim_{x to pm infty} left( frac{a_j}{a_nx^{n-j}} right) = 0$
$lim_{x to pm infty}1 = 1$
d'où : $lim_{x to pm infty} left( 1+sum_{j=0}^n frac{a_j}{a_nx^{n-j}} right) = 1$
et : $lim_{x to pm infty} {h(x)} = lim_{x to pm infty} a_nx^n$ .

Nous retiendrons qu'une fonction polynôme se comporte, aux infinis, comme son terme de plus haut degré.

[modifier] Définition

[modifier] Limite finie en l'infini

Soit $f$ une fonction définie d'un nombre réel jusqu'à l'infini. Soit $l$ un nombre réel. On dit que $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $+infty$ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient aussi toutes les valeurs de $f (x)$ pour $x$ assez grand. On écrit :

$lim_{x to +infty}f(x) = l$

On dit que $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $-infty$ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient aussi toutes les valeurs de $f (x)$ pour $- x$ assez grand (ou $x$ assez petit, $x$ pouvant être négatif). On écrit :

$lim_{x to -infty}f(x) = l$

[modifier] Interprétation graphique

$C f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y = l$ au voisinage de $pminfty$

L'asymptote d'une courbe représentative d'une fonction dans un plan est une droite qui partage une limite commune avec la fonction étudiée. L'équation de cette asymptote dépend de la situation de la limite commune (en l'infini ou en un point...)

[modifier] Limite infinie en l'infini

On dit que la fonction $f$ tend vers $+infty$ quand $x$ tend vers $+infty$ si et seulement si tout intervalle $]lambda ; +infty[$ avec $λ$ un nombre réel contient toutes les valeurs de $f (x)$ pour $x$ suffisamment grand. On écrit :

$lim_{x to +infty}f(x) = +infty$

On dit que la fonction $f$ tend vers $-infty$ quand $x$ tend vers $+infty$ si et seulement si tout intervalle $]-infty ; lambda[$ avec $λ$ un nombre réel contient toutes les valeurs de $f (x)$ pour $x$ suffisamment grand. On écrit :

$lim_{x to +infty}f(x) = -infty$

On écrit :

$lim_{x to -infty}f(x) = +infty$ ou $lim_{-infty}f = +infty$

si et seulement si tout intervalle $]lambda ; +infty[$ avec $λ$ un nombre réel contient toutes les valeurs de $f (x)$ pour $x$ suffisamment petit.

On écrit :

$lim_{x to -infty}f(x) = -infty$ ou $lim_{-infty}f = -infty$

si et seulement si tout intervalle $]-infty ; lambda[$ avec $λ$ un nombre réel contient toutes les valeurs de $f (x)$ pour $x$ suffisamment petit.

[modifier] Limite finie ou infinie en un nombre

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant un nombre réel $a$ .

On dit que $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient aussi toutes les valeurs de $f (x)$ pour tout réel $x$ de $I$ assez proche de $a$ . On écrit :

$lim_{x to a} f(x) = f(a)$ $lim_{x to a}f(x) = l$

On dit que $f$ tend vers $+infty$ quand $x$ tend vers $a$ si et seulement si tout intervalle $]lambda ; +infty[$ avec $λ$ un nombre réel contient toutes les valeurs de $f (x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$ . On écrit :

$lim_{x to a}f(x) = +infty$

On dit que $f$ tend vers $-infty$ quand $x$ tend vers $a$ si et seulement si tout intervalle $]-infty ; lambda [$ avec $λ$ un nombre réel contient toutes les valeurs de $f (x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$ . On écrit :

$lim_{x to a}f(x) = -infty$

[modifier] Interprétation graphique

Si $lim_{a}f = +infty$ (ou $-infty$ ) alors $C f$ admet une asymptote verticale d'équation $x = a$ au voisinage de $pminfty$ .

[modifier] Limite aux infinis de fonctions de référence

[modifier] Exemple 1

$g:x mapsto ax+b;(a,b) in mathbb{R}^2$

Si $a > 0$	Si $a < 0$
$lim_{x to + infty} g(x) = + infty$	$lim_{x to + infty} g(x) = - infty$
$lim_{x to -infty} g(x) = -infty$	$lim_{x to -infty} g(x) = + infty$

[modifier] Exemple 2

$h:x mapsto x^{2n};n in mathbb{N}^*$

$lim_{x to pm infty} h(x) = + infty$

[modifier] Exemple 3

$k:x mapsto x^{2n+1};n in mathbb{N}^*$

$lim_{x to + infty} k(x) = + infty$
$lim_{x to -infty} k(x) = -infty$

[modifier] Exemple 4

$l:x mapsto frac{1}{ax+b}$

avec $(a,b) in mathbb{R}^2, ax+b ne 0$
$lim_{x to pm infty} l(x) = 0$

[modifier] Exemple 5

$m:x mapsto sum_{i=0}^n a_ix^i$

$lim_{x to pm infty} {m(x)} = lim_{x to pm infty} a_nx^n$

[modifier] D'autres outils pour les limites

[modifier] Théorèmes

[modifier] Théorème de comparaison

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle du type $]lambda ; +infty[$ (ou $]-infty ; lambda[$ ) avec $λ$ un nombre réel telles que pour tout $x$ appartenant à cette intervalle, $f(x) le g(x)$ .

Si $lim_{+infty (-infty)}f = +infty$ alors $lim_{+infty (-infty)}g = +infty$

[modifier] Théorème des gendarmes

Soit $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions définies sur un intervalle du type $]lambda ; +infty[$ (ou $]-infty ; lambda[$ ) avec $λ$ un nombre réel telles que pour tout $x$ appartenant à cette intervalle, $f(x) le g(x) le h(x)$ .

Si $lim_{+infty (-infty)}f = lim_{+infty (-infty)}h = a$ avec $a$ un nombre réel ou $+infty$ ou $-infty$ alors $lim_{+infty (-infty)}g = a$

[modifier] Asymptotes

Regardons la courbe représentative de la fonction inverse.

Fichier:Courbe fonction inverse.png

Cette courbe, lorsque $x$ est de plus en plus grand ou de plus en plus petit, se rapproche de l'axe des abscisses mais sans la toucher. Cette dernière est en fait une asymptote horizontale de la fonction inverse.

De même, la courbe se rapproche également de l'axe des ordonnées, sans jamais la croiser, lorsque $x$ tend vers 0. Nous avons là une asymptote verticale de la fonction.

[modifier] Asymptote horizontale et verticale

Dire que la courbe représentative d'une fonction $f$ se rapproche d'une droite horizontale d'équation $y = a$ quand $x$ devient très grand (ou très petit) signifie que $f (x)$ tend vers la valeur $a$ quand $x$ tend vers l'infini.

Ainsi, la droite $Delta:y=a,$ est asymptote horizontale de $f$ si et seulement si $lim_{x to pminfty} f(x)=a$ .

Quand la courbe représentative de $f$ rapproche d'une droite verticale d'équation $Delta_2:x=b,$ , c'est $f (x)$ qui tend vers l'infini cette fois, lorsque x se rapproche de cette valeur $b$ .

On a : $lim_{x to b} f(x)=pm infty$

Chercher une asymptote horizontale d'une fonction revient à calculer la limite en $pminfty$ de cette fonction.

Lorsqu'il y a une asyptote verticale en $x = b$ , la courbe de la fonction ne touche pas la droite, et donc $f (b)$ n'est pas définie ; il s'agit d'une borne du domaine de définition de la fonction.

Chercher une asymptote verticale d'une fonction revient alors à calculer les limites aux bornes du domaine de définition de cette fonction.

[modifier] Asymptote oblique

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I = ]lambda ; +infty[$ (ou $]-infty ; lambda[$ ) avec $λ$ un nombre réel telle que l'on ait :

$lim_{+infty (-infty)}[f(x) - (ax + b)] = 0$

Alors la droite d'équation $y = a x + b$ est une asymptote oblique à la courbe représentative de $f$ au voisinage de $+infty$ (ou $-infty$ )

[modifier] Limite de la composée de deux fonctions

Les lettre $a$ , $b$ et $c$ désignent soit des nombres réels, soit $+infty$ soit $-infty$ .
Soit la fonction composée $g circ f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ , ou dont $a$ est une borne.

Si $lim_{x to a}f(x) = b$ et si $lim_{y to b}g(y) = c$ alors $lim_{x to a}(g circ f)(x) = c$

Étude de fonctions : Taux de variation
Étude de fonctions/Taux de variation

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**Taux de variation**
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Chapitre 2
Chap. préc. :	Limites et asymptotes
Chap. suiv. :	Continuité

Si $f$ est définie en $a$ et en $a + h$ alors le taux de variation $t$ de $f$ entre $a$ et $a + h$ est : $t(h) = frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ (avec $h$ ≠ $0$ )

La limite du taux de variation est égal au nombre dérivé de $f$ en $a$ .

$lim_{h to 0}t(h) = lim_{x to a}frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f^prime(a)$

Étude de fonctions : Continuité
Étude de fonctions/Continuité

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**Continuité**
Leçon : Étude de fonctions

Chapitre 3
Chap. préc. :	Taux de variation
Chap. suiv. :	Nombre dérivé de fonctions

Sommaire

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[modifier] Définition

Si une fonction $f$ est continue en $a$ alors $f$ est définie en $a$ et admet une limite finie en $a$ qui est $f (a)$ .

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre de $I$ . On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si :

$lim_{x to a}f(x) = f(a)$ ou $lim_{h to 0}f(a+h) = f(a)$ .

Sinon, $f$ est discontinue en $a$ .

$f$ est continue sur l'intervalle $I$ si et seulement si, $f$ est continue en tout nombre de $I$ .

[modifier] Interprétation graphique

$f$ est continue sur l'intervalle $I$ signifie que l'on peut tracer la courbe de la fonction $f$ sur $I$ sans avoir à lever le crayon de la feuille.

[modifier] Fonctions classiques

Toutes les fonctions $x longmapsto x^n$ $forall n in N^*$ sont définies et continues sur $R$ . Par conséquent, toutes les fonctions polynômes sont définies et continues sur $R$ . Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. La fonction sinus et la fonction cosinus sont continues sur $R$ . La fonction racine carrée est continue sur $R^+$ .

[modifier] Opérations sur les fonctions continues

[modifier] Opérations classiques

[modifier] Théorème

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ , soit $a$ un élément de $I$ où $f$ et $g$ sont continues. Alors leur somme $f + g$ , leur produit $f times g$ et leur quotient $frac{f}{g}$ (si $g (a)$ ≠ $0$ ) et toutes fonctions du type $k f$ , ( $k in R$ ) sont des fonctions continues en $a$ . Ceci est démontrable par les propriétés sur les limites.

[modifier] Corollaire

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies et continues sur un intervalle $I$ . Alors leur somme $f + g$ , leur produit $f times g$ et leur quotient $frac{f}{g}$ (si $g (x)$ ≠ $0$ $forall x in I$ ) et toutes fonctions du type $k f$ , ( $k in R$ ) sont des fonctions continues sur l'intervalle $I$ .

[modifier] Continuité et composition

[modifier] Théorème

Soit $f$ une fonction définie dans un intervalle $I$ contenant le nombre $a$ et $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ contenant $f (a)$ . Si $f$ est continue en $a$ et si $g$ est continue en $f (a)$ alors, $g circ f$ est continue en $a$ .

[modifier] Corollaire

Si $f$ est définie et continue sur un intervalle $I$ et si $g$ est définie et continue sur un intervalle $J$ contenant $f (I)$ . Alors, $g circ f$ est définie et continue sur $I$ .

[modifier] Conclusion (théorème)

Si $lim_{a}f = l$ et si $g$ est continue en $l$ alors, $lim_{a}g circ f = g(l)$ .

[modifier] Résolution de l'équation $f (x) = k$

[modifier] Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ et si $a$ et $b$ sont deux nombres de $I$ alors, pour tout nombre $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f (c) = k$ .

[modifier] Corollaire

Si $f$ est une fonction définie, continue et monotone sur l'intervalle $[a; b]$ , $a < b$ . Alors, pour tout nombre $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ il n'existe qu'un seul nombre $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f (c) = k$ .
L'équation $f (x) = k$ a une et une seule solution dans $[a; b]$ .

[modifier] Cas général

Si $f$ est une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ et si $α$ et $β$ sont les limites de $f$ aux bornes de cet intervalle ( $α$ et $β$ sont des nombres, $+infty$ ou $-infty$ ). Alors, pour tout réel $k$ strictement compris entre $α$ et $β$ , il existe une et une seule solution à l'équation $f (x) = k$ .

Étude de fonctions : Nombre dérivé de fonctions
Étude de fonctions/Nombre dérivé de fonctions

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**Nombre dérivé de fonctions**
Leçon : Étude de fonctions

Chapitre 4
Chap. préc. :	Continuité
Chap. suiv. :	Dérivation

Soit $t$ le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$

Sommaire

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[modifier] Condition de dérivabilité d'une fonction en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ un nombre de $I$ . On dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si Il existe un nombre réel $m$ tel que l'une des deux propositions suivantes soit vérifiée :

: $lim_{h to 0}t(h) = m$

Pour tout réel $h$ tel que $a+h in I$ on a :

$f(a+h) = f(a)+h times m+htimesphi(h),$

où $φ$ est une fonction telle que $lim_{h to 0}phi(h) = 0$

[modifier] Les deux propositions sont équivalentes (démonstration)

On suppose que $lim_{h to 0}t(h) = m$

$lim_{h to 0}frac{f(a+h)-f(a)}{h} = m$

$lim_{h to 0}frac{f(a+h)-f(a)}{h}-m = 0$

On pose $phi(h) = frac{f(a+h)-f(a)}{h} - m$ . $lim_{h to 0}phi(h) = 0$

$frac{hphi(h)}{h} = frac{f(a+h)-f(a)}{h} - frac{h times m}{h}$

$htimesphi(h) = f(a+h) - f(a) - h times m,$

$f(a+h) = f(a)+h times m+htimesphi(h),$ avec $lim_{h to 0}phi(h) = 0$

[modifier] Nombre dérivé

Le nombre réel $m$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ . Ce nombre dérivé est noté $f^prime(a)$ .

[modifier] À retenir

Si $f$ est dérivable en $a$ alors le nombre dérivé en $a$ est égal à la limite du taux de variation en $a$ .

$f^{prime}(a) = lim_{h to 0}t(h)$

Théorème : Si $f$ est une fonction dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$ :

" $f$ est dérivable en $a$ " $Rightarrow$ $lim_{h to 0}t(h) = m$ (avec $m in R$ )

$Rightarrow$ $lim_{x to a}frac{f(x)-f(a)}{x-a} = m$ $Rightarrow$ $lim_{x to a}f(x)-f(a) = m(x-a)$ $Rightarrow$ $lim_{x to a}f(x) = f(a) + m(x-a)$

or $lim_{x to a}x-a = 0$ $Rightarrow$ $lim_{x to a}f(x) = f(a)$ $Rightarrow$ " $f$ est continue en $a$ "

[modifier] Tangente à la courbe d'une fonction en un point (équation cartésienne)

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ et soit $C$ sa représentation graphique. La tangente à la courbe $C$ au point $A (a; f (a))$ admet pour équation $y = f^prime(a)(x-a)+f(a)$ .

Si $lim_{h to 0}t(h) = +infty (ou -infty)$ alors la droite d'équation $x = a$ est une tangente verticale au point $A (a; f (a))$ à $C$ mais $f$ n'est pas dérivable en $a$ .

[modifier] Démonstration

$f^{prime}(a)$ est le coefficient directeur de la tangente donc une équation cette droite est : $y = f^{prime}(a) times x + b$ . $A (a; f (a))$ appartient à la tangente donc ses coordonnées vérifient :

$y_A = f^{prime}(a) times x_A + b$

$Rightarrow f(a) = f^{prime}(a) times a + b$

$Rightarrow b = f(a) - f^{prime}(a) times a$

donc une équation de la tangente est :

$y = f^{prime}(a)(x) + f(a) - f^{prime}(a) times a$

$Rightarrow y = f^{prime}(a)(x - a) + f(a)$

Étude de fonctions : Dérivation
Étude de fonctions/Dérivation

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**Dérivation**
Leçon : Étude de fonctions

Chapitre 5
Chap. préc. :	Nombre dérivé de fonctions
Chap. suiv. :	Fonction dérivée

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[modifier] Définition

Dérivée: Soit une fonction $f$ , à valeurs dans $mathbb{K}$ , définie sur un voisinage de $x 0$ . On note $Δ x = x - x o$ la variation autour du point $x o$ et $Δ f = f (x) - f (x o)$ la variation correspondante de la fonction $f$ .

Définition n^o 1

On dit qu'une fonction $f$ est dérivable en $x 0$ si la limite

$lim_{x to x_0}frac{Delta f}{Delta x}, = lim_{x to x_0}frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, = lim_{h to 0}frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h},$

existe. Dans ce cas, on appelle cette limite dérivée de $f$ en $x 0$ et on la note $f^prime(x_0)$ .

Définition n^o 2

On dit que $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$ et on note $f^prime$ la fonction dérivée $x mapsto f^prime (x)$ .

La dérivée de $f^prime$ , si elle existe, est notée $f^{prime prime}$ ,

et par récurrence, on définit la dérivée nième de $f$ , notée $f (n)$ .

Attention à ne pas confondre avec la puissance nième de $f$ , notée $f n$ , avec la dérivée $n$ ième notée $f (n)$ .

La définition suivante est souvent utile:

Définition n^o 3

On dit que

f

est

n

fois dérivable sur un intervalle

I

si elle est

n

fois dérivable en tout point de

I

; on dit que
$f in C^n(I)$ si $f, f^prime, ...$ sont continues sur

I

Donc $f in C^0(I)$ signifie simplement que $f$ est continue sur $I$ . On peut aussi parler de la classe $C^infty (mathbb{R})$ , avec les polynômes, l'exponentielle, le sinus, le cosinus et la gaussienne $x mapsto e^{-ax^2}$ avec $a in mathbb{R_{+}^{*}}$ .

[modifier] Interprétation

[modifier] Interprétation géométrique

f

est à valeurs réelles et si le nombre $f^prime (x_0)$ existe, il est est égal à la pente de la tangente à

f (x)

au point

x 0

. L'équation cartésienne de la droite tangente à

f (x)

x 0

s'écrit $y = f(x_0) + (x - x_0)*f^prime (x_0)$ . À noter que si $f^prime (x_0) = pm infty$ la tangente à la courbe existe encore, mais elle est verticale, et d'équation

x = x 0

[modifier] Interprétation mécanique

Soit

x (t)

l'équation horaire d'un point matériel selon l'axe

O x

en fonction du temps

t

. La limite $lim_{t to t_0}frac{x(t) - x(t_0)}{t-t_0},$ est notée $dot x (t_o)$ et la fonction dérivée $t mapsto dot x (t)$ est la vitesse du point, à l'instant

t

, selon l'axe

O x

. L'accélération à l'instant

t

, selon ce même axe, est la dérivée seconde $ddot x (t)$ . La loi fondamentale de la dynamique newtonienne s'exprime selon

$m ddot x (t) = F_x$ ,

où

m

est la masse de la particule considérée et

F x

la composante, selon l'axe

O x

, de la force qui s'exerce sur la particule, qui peut dépendre de $x, dot x , ...$ . On obtient des équations différentielles que l'on ne sait résoudre analytiquement que pour des forces

F x

assez simples.

[modifier] Interprétation chimique

On considère un échantillon de matériau radio-actif qui contient

N (t)

atomes à l'instant

N (t)

. La loi fondamentale qui régit l'évolution temporelle du phénomène de désintégration est la suivante: le taux de variation instantanée du nombre d'atomes est une constante négative, dont la valeur absolue est notée

λ

(elle varie selon la nature de l'atome). La variation instantanée du nombre d'atomes est la dérivée $dot N (t)$ et le taux de variation est $frac{dot N}{N},$ . On a donc pour loi de variation temporelle:

$frac{dot N}{N}, = - lambda Rightarrow dot N (t) = lambda N(t)$ .

On obtient encore une équation différentielle; le lecteur peut vérifier que si

N 0

est le nombre d'atomes initial à

t = 0

, au temps

t

il n'en restera plus que

N (t) = N 0 e - λ t

[modifier] Continuité et Dérivabilité

Théorème

Toute fonction $f$ dérivable en $x 0$ est continue en ce point.

Attention! La réciproque est fausse. Par exemple la fonction $x mapsto left| x right|$ est continue en $x = 0$ , mais elle n'est pas dérivable en $x = 0$ . Ici encore, prudence: il existe des fonctions continues sur $mathbb{R}$ qui ne sont dérivables en aucun point! On ne peut pas toujours "faire un dessin".

[modifier] Calcul des dérivées

[modifier] Dérivées des fonctions composées

Théorème

Si $f$ est dérivable en $g (x)$ et $g$ est dérivable en $x$ , alors $f o g$ est dérivable en $x$ et $(f circ g)'(x)=(f' circ g)(x)times g'(x)$

Démonstration

$g$ dérivable en $x Leftrightarrow g(x+h)=g(x)+g'(x)h+hepsilon(h)$ avec $lim_{hrightarrow 0}epsilon(h)=0$ (1)
$f$ dérivable en $g(x) Leftrightarrow f[g(x)+h]=(f circ g)(x)+(f' circ g)(x)h+hepsilon_1(h)$ avec $lim_{hrightarrow 0}epsilon_1(h)=0$ (2)

Nous devons montrer que $(f circ g)(x+h)=(f circ g)(x)+h(f' circ g)(x)times g'(x)+hepsilon_2(h)$

Posons $h' = g'(x) h + h ε(h)$ . Nous noterons (3) cette égalité. On a bien $lim_{hrightarrow 0}h'(h)=0$ .

$(f circ g)(x+h)=f[g(x+h)]=f[g(x)+g'(x)h+hepsilon(h)]$ d'après (1)

$=f[g(x)+h']=(f circ g)(x)+(f' circ g)(x)h'+h'epsilon_1(h)$ d'après (2)

$=(f circ g)(x)+h[(f' circ g)(x)g'(x)]+h[(f' circ g)(x)epsilon(h)+epsilon_1(h)g'(x)+epsilon(h)epsilon_1(h)]$ d'après (3)

$=(f circ g)(x)+h(f' circ g)(x)times g'(x)+hepsilon_2(h)$

Ainsi $(f circ g)'(x)=(f' circ g)(x)times g'(x)$

car $epsilon_2(h)=(f' circ g)(x)epsilon(h)+epsilon_1(h)g'(x)+epsilon(h)epsilon_1(h)$ et on a bien $lim_{hrightarrow 0}epsilon_2(h)=0$ .

Remarque

Il existe une démonstration de ce théorème, apparemment plus simple, qui utilise l'"astuce" $dfrac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}=dfrac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}times dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}$ , mais cette démonstration est moins bonne que la précédente car elle suppose que $g(x)neq g(a)$ pour tout $x$ au voisinage de $a$ , ce qui n'a aucune raison d'être !!!

[modifier] Dérivées des fonctions réciproques

$left(f^{-1}right)'=dfrac{1}{f' circ f^{-1}}$

[modifier] Différentielle

[modifier] Utilisations

[modifier] Dérivée première et variations

[modifier] Dérivée seconde et convexité

[modifier] Les théoremes fondamentaux

Étude de fonctions : Fonction dérivée
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**Fonction dérivée**
Leçon : Étude de fonctions

Chapitre 6
Chap. préc. :	Dérivation
Chap. suiv. :	Étude de fonctions

Sommaire

[masquer]

[modifier] Définition

On dit qu'une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si et seulement si elle admet un nombre dérivé en tout nombre réel de $I$ . La fonction qui à tout nombre réel $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f^{prime}(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$ et est noté $f^{prime}$ .

[modifier] Écriture différentielle

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $f^{prime}$ sa fonction dérivée.

$forall x in I$ , $f(x+h) = f(x)+h times f^{prime}(x)+h times phi(h)$ avec $lim_{0}phi = 0$

Posons $Delta x = (x+h)-x = h,$ et $Delta y = f(x+h) - f(x),$ On a donc :

$Delta y = h times f^{prime}(x)+h times phi(h)$

$Rightarrow Delta y = Delta x times f^{prime}(x) + Delta x times phi(h)$

$Rightarrow frac{Delta y}{Delta x} = f^{prime}(x) + phi(h)$

de plus $lim_{0}phi = 0$ donc lorsque $Δ x$ devient infinitésimal, on écrit : $f^{prime}(x) approx frac{Delta y}{Delta x}$ on note aussi : $frac{dy}{dx}$

[modifier] Dérivées successives

Définition : Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Si sa fonction dérivée $f^{prime}$ est dérivable sur cet intervalle $I$ alors elle admet une fonction dérivée sur $I$ appelée dérivée seconde de $f$ et notée $f^{prime prime}$ .

On dit alors que $f$ est deux fois dérivable sur $I$ . On peut ainsi définir les fonctions dérivées successives de $f$ sur $I$ si elles existent. On note $f (3)$ la fonction dérivée troisième de $f$ sur $I$ . Pour tout entier $n$ on note $f (n)$ la dérivée $n$ -ième avec $f^{(1)} = f^{prime}$ et $f^{(0)} = f,$ .

Avec la notation différentielle on écrit $f^{prime} = frac{df}{dx}$ $f^{primeprime} = frac{d^2f}{dx^2}$ ... $f^{(n)} = frac{d^nf}{dx^n}$

[modifier] Opérations et dérivées

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$

Opération	Dérivée
Somme	$(u + v)^{prime} = u^{prime} + v^{prime}$
Produit	$(u times v)^{prime} = u^{prime} times v + v^{prime} times u$
Produit par un réel	$(k times u)^{prime} = k times u^{prime}$
Carré d'une fonction	$left(u^2right)^{prime} = 2u^{prime}u$
Cube d'une fonction	$left(u^3right)^{prime} = 3u^{prime}u^2$
Inverse $u(x) ne 0$ $forall x in I$	$left(frac{1}{u}right)^{prime} = frac{-u^{prime}}{u^2}$
Quotient $v(x) ne 0$ $forall x in I$	$left(frac{u}{v}right)^{prime} = frac{u^{prime}v - v^{prime}u}{v^2}$

Remarque : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de $R$ où elles sont définies

[modifier] Démonstration

Soit deux fonctions définies et dérivables sur $R$ .

[modifier] Composée (théorème)

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ tel que $f(I) subset J$ . Alors $g circ f$ est dérivable sur $I$ et on a $(g circ f)^{prime} = f^{prime} times (g^{prime} circ f)$

[modifier] Démonstration

$frac{left(g circ fright)(a + h) - left(g circ fright)(a)}{h} = frac{gleft[f(a + h)right] - gleft[f(a)right]}{h} = T(h)$

$approx frac{gleft[f(a) + hf^{prime}(a) + hphi(h)right] - gleft[f(a)right)]}{h} times frac{f^{prime}(a)}{f^{prime}(a)}$

$approx frac{gleft[f(a) + hf^{prime}(a)right] - gleft[f(a)right]}{hf^{prime}(a)} times f^{prime}(a)$

or $lim_{h to 0}frac{g(a + h) - g(a)}{h} = g^{prime}(a)$

donc $lim_{h to 0}T(h) = g^{prime}[f(a)] times f^{prime}(a)$

donc $(g circ f)^{prime} = g^{prime}[f(a)] times f^{prime}(a)$

[modifier] Corollaire

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Pour tout entier naturel $n$ $n ge 2$ $(u^n)^{prime} = nu^{prime}u^{n-1}$ .

Si $u$ est strictement positive sur $I$ $(sqrt{u})^{prime} = frac{u^{prime}}{2sqrt{u}}$

[modifier] Sens de variation (théorème)

Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$ .

Si pour tout $x in I$ on a $f^{prime}(x) ge 0$ alors $f$ est croissante sur $I$ .

Si pour tout $x in I$ on a $f^{prime}(x) le 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$ .

Si pour tout $x in I$ on a $f^{prime}(x) > 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Si pour tout $x in I$ on a $f^{prime}(x) < 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .

[modifier] Extremum local (théorème)

Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $R$ et $x 0$ un nombre de $I$ . Si $f$ admet un extremum local en $x 0$ alors $f^{prime}(x_0) = 0$ .

[modifier] Tableau des dérivés

	$(ax + b)^{prime} = a$
	$(u + v)^{prime} = u^{prime} + v^{prime}$
	$(uv)^{prime} = u^{prime}v + v^{prime}u$
	$(e^u)^{prime} = u^{prime}e^u$
	$(u circ v)^{prime} = (u^{prime} circ v) times v^{prime}$
$u > 0$	$(ln u)^{prime} = frac{u^{prime}}{u}$
Soit $n>1,$ Soit $u ne 0,$ et $n in Z$ Soit $u>0,$ et $n in mathbb{Q}$	$left(u^nright)^{prime} = nu^{prime}u^{n-1}$
$forall frac{-pi}{2} < x + kpi < frac{pi}{2}$ avec $k in Z$	$(tan x)^{prime} = 1 + tan^2x = frac{1}{cos^2x}$
	$(cos x)^{prime} = - sin x$
	$(sin x)^{prime} = cos x$

Étude de fonctions : Étude de fonctions
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**Étude de fonctions**
Leçon : Étude de fonctions

Chapitre 7
Chap. préc. :	Fonction dérivée

[modifier] Introduction

L'étude de fonctions est une synthèse de toutes les notions entourant les fonctions. Il s'agit, à partir d'une expression donnée, de connaître son comportement et sa nature de manière théorique. L'étude d'une fonction a de nombreuses applications, elle s'applique à l'économie pour calculer le rendement de la production d'un produit, en physique pour étudier un phénomène en fonction du temps, de l'espace, en biologie, et dans de nombreux autres domaines. Nous allons dans la suite progresser en détaillant précisément le plan d'étude d'une application nommée f.

[modifier] Caractérisation

L'étude suit un plan logique et rigoureux.

Toute application a un domaine de définition: $mathbb{R}$ , ou tout intervalle réel. Ce domaine correspond à l'ensemble des points où la valeur f(x) existe (par exemple, la fonction inverse n'est pas définie en 0).
Elle a aussi un domaine de continuité en montrant que pour tout point du domaine l'application est continue: on utilise ici les limites en montrant que pour tout élément $x 0$ de l'ensemble on a : $lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$
On cherche ensuite à simplifier l'étude, en étudiant la parité ou la périodicité de l'application.

Parité: on regarde (c'est important) d'abord si l'ensemble de définition est symétrique par rapport à l'origine. Ensuite on cherche f(-x), on regarde si c'est égal à -f(x) (fonction impaire) ou à f(x) (fonction paire). Attention, cette recherche doit être effectuée seulement si la parité paraît plausible (si f(x)= exp(x) ce n'est pas utile: $e - x = 1 / e x$ ). L'existence d'une parité permet de n'étudier la fonction que pour les réels positifs, et d'en déduire les variations pur x négatif. Périodicité: on cherche un réel T tel que f(x+T)=f(x) ou plus généralement f(x+kT)=f(x) où k est un entier relatif. Ici aussi, il ne faut pas chercher inutilement ce genre de simplification. Le cas le plus courant (98% des cas) concerne les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, ...). De même, cette simplification permet d'étudier f sur un intervalle [x;x+T].

On détermine ensuite le domaine de dérivabilité, en utilisant les propriétés de dérivation usuelles.
On dérive ensuite la fonction, en utilisant les règles usuelles.
On en déduit les variations suivant le signe de la dérivée (cela nécessite parfois un deuxième calcul de dérivée).
On calcule ensuite les limites aux bornes de l'ensemble de continuité/dérivation, pour la fonction et sa dérivée (couramment en $+-infty$ , et parfois en un point où f (ou f') n'est pas continue.

Prochains développements (en cours d'écriture):

On cherche et calcule les valeurs remarquables: en plus des limites, il est parfois utile de calculer f(x) pour certaines valeurs de x, comme zéro pour les fonctions paires et impaires, ou pour les x où f(x)=0 si on vous le demande,...
Enfin, il est parfois demandé (ou utile) de déterminer les asymptotes. Celles-ci se calculent en l'infini, et plus généralement aux bornes du domaine de continuité (la fonction inverse possède une asymptote verticale x=0.

Cette étude permet de dresser le tableau de variations qui récapitule toute l'étude. Un exemple d'étude de fonction se trouve ici:

Exercice : Fonctions associées
Étude de fonctions/Exercices/Fonctions associées

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**Fonctions associées**
Leçon : Étude de fonctions

Exercice

Cet exercice est de niveau 11.

[modifier] Exercice 1

Soit u une fonction définie sur $[-3;5],$ dont on donne le tableau de variation :

$begin{array}{c|ccccccc|} x&-3&&0&&2&&5 hline &&&4&&&& &&nearrow&&searrow&&& textrm{Variations~de}~u&2&&&&0&& &&&&&&searrow& &&&&&&&-6 hline end{array}$

Déterminer le tableau de variation des fonctions suivantes :

$f:xmapsto u(x+1) - 2$

$g:xmapsto 2 - u(x-3)$

$h:xmapsto |u(x)|$

Masquer

Solution

Tableau de variation de $f:xmapsto u(x+1) - 2$ :

On applique $t_{-vec i}$ :

$begin{array}{c|ccccccc|} x&-4&&-1&&1&&4 hline &&&4&&&& &&nearrow&&searrow&&& textrm{Variations~de}~xmapsto u(x+1)&2&&&&0&& &&&&&&searrow& &&&&&&&-6 hline end{array}$

Puis $t_{-2vec j}$ :

$begin{array}{c|ccccccc|} x&-4&&-1&&1&&4 hline &&&2&&&& &&nearrow&&searrow&&& textrm{Variations~de}~f&0&&&&-2&& &&&&&&searrow& &&&&&&&-8 hline end{array}$

Tableau de variation de $g:xmapsto 2 - u(x-3)$

On applique $t_{3vec i}$ :

$begin{array}{c|ccccccc|} x&0&&3&&5&&8 hline &&&4&&&& &&nearrow&&searrow&&& textrm{Variations~de}~xmapsto u(x-3)&2&&&&0&& &&&&&&searrow& &&&&&&&-6 hline end{array}$

Puis ${rm S}_{{rm (Ox)}},$ :

$begin{array}{c|ccccccc|} x&0&&3&&5&&8 hline &&&&&&&6 &&&&&&nearrow& textrm{Variations~de}~xmapsto -u(x-3)&-2&&&&0&& &&searrow&&nearrow&&& &&&-4&&&& hline end{array}$

Puis enfin $t_{2vec j}$ :

$begin{array}{c|ccccccc|} x&0&&3&&5&&8 hline &&&&&&&6 &&&&&&nearrow& textrm{Variations~de}~g&0&&&&2&& &&searrow&&nearrow&&& &&&-2&&&& hline end{array}$

Tableau de variation de $h:xmapsto |u(x)|$ :

On rappelle que :

Pour tout x tel que $u(x)geq 0,~|u(x)|=u(x)$
Pour tout x tel que $u(x)leq 0,~|u(x)|=-u(x)$

Toutes les parties du tableau de variations resteront inchangées lorsque les valeurs de u sont positives, et seront « inversées » lorsque les valeurs de u seront négatives.

$begin{array}{c|ccccccc|} x&-3&&0&&2&&5 hline &&&4&&&&6 textrm{Variations~de}~h&&nearrow&&searrow&&nearrow& &2&&&&0&& hline end{array}$

[modifier] Exercice 2

On pose les fonctions ƒ et u, définies sur $R$ par :

$f:xmapsto -(x-1)^2 + 5$

$u:xmapsto x^2$

On note $mathcal C_f$ et $mathcal C_u$ les courbes représentatives de ƒ et u dans un repère orthonormé $({rm O};vec i,vec j)$ donné.

1. Pour tout x, écrire ƒ(x) en utilisant u.

2. Donner les transformations qui permettent d'obtenir $mathcal C_f$ à partir de $mathcal C_u$

3. Dresser le tableau de variation de ƒ.

Masquer

Solution

1. Pour tout x, $f(x)=-u(x-1)+5,$

2. Pour obtenir $mathcal C_f$ , on trace l'image de $mathcal C_u$ par $t_{vec i}$ , puis ${rm S}_{({rm Ox})},$ et enfin $t_{5vec j}$ .

3. On part du tableau de variation de u, bien connu :

$begin{array}{c|ccccc|} x&-infty&&0&&+infty hline &+infty&&&&+infty textrm{Variations~de}~u&&searrow&&nearrow& &&&0&& hline end{array}$

On applique $t_{vec i}$ :

$begin{array}{c|ccccc|} x&-infty&&1&&+infty hline &+infty&&&&+infty textrm{Variations~de}~u&&searrow&&nearrow& &&&0&& hline end{array}$

Puis ${rm S}_{({rm Ox})},$ :

$begin{array}{c|ccccc|} x&-infty&&1&&+infty hline &&&0&& textrm{Variations~de}~u&&nearrow&&searrow& &-infty&&&&-infty hline end{array}$

et enfin $t_{5vec j}$ .

$begin{array}{c|ccccc|} x&-infty&&1&&+infty hline &&&5&& textrm{Variations~de}~u&&nearrow&&searrow& &-infty&&&&-infty hline end{array}$

Étude de fonctions : Limites et asymptotes Étude de fonctions/Limites et asymptotes

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Sommaire

[modifier] Approche

[modifier] Définition

[modifier] Limite finie en l'infini

[modifier] Interprétation graphique

[modifier] Limite infinie en l'infini

[modifier] Limite finie ou infinie en un nombre

[modifier] Interprétation graphique

[modifier] Limite aux infinis de fonctions de référence

[modifier] Exemple 1

[modifier] Exemple 2

[modifier] Exemple 3

[modifier] Exemple 4

[modifier] Exemple 5

[modifier] D'autres outils pour les limites

[modifier] Théorèmes

[modifier] Théorème de comparaison

[modifier] Théorème des gendarmes

[modifier] Asymptotes

[modifier] Asymptote horizontale et verticale

[modifier] Asymptote oblique

[modifier] Limite de la composée de deux fonctions

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Étude de fonctions : Continuité Étude de fonctions/Continuité

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Sommaire

[modifier] Définition

[modifier] Interprétation graphique

[modifier] Fonctions classiques

[modifier] Opérations sur les fonctions continues

[modifier] Opérations classiques

[modifier] Théorème

[modifier] Corollaire

[modifier] Continuité et composition

[modifier] Théorème

[modifier] Corollaire

[modifier] Conclusion (théorème)

[modifier] Résolution de l'équation f(x) = k

[modifier] Théorème des valeurs intermédiaires

[modifier] Corollaire

[modifier] Cas général

Étude de fonctions : Nombre dérivé de fonctions Étude de fonctions/Nombre dérivé de fonctions

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Sommaire

[modifier] Condition de dérivabilité d'une fonction en un point

[modifier] Les deux propositions sont équivalentes (démonstration)

[modifier] Nombre dérivé

[modifier] À retenir

[modifier] Tangente à la courbe d'une fonction en un point (équation cartésienne)

[modifier] Démonstration

Étude de fonctions : Dérivation Étude de fonctions/Dérivation

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Sommaire

[modifier] Définition

[modifier] Interprétation

[modifier] Interprétation géométrique

[modifier] Interprétation mécanique

[modifier] Interprétation chimique

[modifier] Continuité et Dérivabilité

[modifier] Calcul des dérivées

[modifier] Dérivées des fonctions composées

[modifier] Dérivées des fonctions réciproques

[modifier] Différentielle

[modifier] Utilisations

[modifier] Dérivée première et variations

[modifier] Dérivée seconde et convexité

[modifier] Les théoremes fondamentaux

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Sommaire

[modifier] Définition

[modifier] Écriture différentielle

[modifier] Dérivées successives

[modifier] Opérations et dérivées

[modifier] Démonstration

[modifier] Composée (théorème)

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[modifier] Résolution de l'équation $f (x) = k$

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