Fonction dérivée : Nombre dérivé
Fonction dérivée/Nombre dérivé

Une page de Wikiversité.

**Nombre dérivé**
Leçon : Fonction dérivée

Chapitre 1
Retour au	Sommaire
Chap. suiv. :	Équation d'une tangente

Sommaire

[masquer]

[modifier] Accroissement d'une fonction affine

Soit une fonction affine ƒ définie sur $R$ par $f:xmapsto ax+b$ .

a est appelé le coefficient directeur de ƒ.

Pour déterminer ce coefficient directeur à partir de la représentation graphique de la fonction,

on choisit deux points du graphe et on mesure (cf. figure ci-contre) :

la différence des abscisses Δx
la différence des ordonnées Δy

On a alors $a=frac{Delta y}{Delta x}$

La grandeur a caractérise la pente de la droite :

plus a est grand et plus la droite monte vite.

On appelle donc également a accroissement de la fonction ƒ.

[modifier] Accroissement moyen

[modifier] Introduction

Dans le cas d'une fonction $f:xmapsto f(x)$ quelconque, définie sur un intervalle I, (voir figure ci-contre), l'accroissement de la fonction n'est pas constant. Parfois la fonction monte, parfois elle redescend, plus ou moins vite. On ne peut pas travailler aussi simplement qu'avec les fonctions affines.

On introduit donc la notion d'accroissement moyen sur un intervalle.

Définition

Soient $ain I,~bin I$ .

On note A et B les points de la courbe représentative de ƒ dans un repère $(O;vec i,vec j)$ qui ont pour abscisses respectives a et b:

$A (a;f(a)),$
$B(b;f(b)),$

La droite $(A B)$ est une corde de la courbe $y = f(x),$ ,

Son coefficient directeur vaut : $frac{Delta y}{Delta x}=frac{Delta (f(x))}{Delta x}=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ et s'appelle accroissement moyen de ƒ entre a et b

Voyons sur quelques exemples l'utilité de l'accroissement moyen d'une fonction entre deux points.

[modifier] Exemple 1

Un véhicule parcourt 1000 km en 10 h. Quelle est sa vitesse moyenne ?

$V_m =dots$

Masquer

Solution

Pour avoir le résultat, il suffit de diviser la distance qui a été parcourue (ici 1000 km) entre l'instant de départ et l'instant d'arrivée (ici espacés de 10 heures)

$begin{array}{|c|c|} textrm{Exemple} & textrm{Equivalent~dans~l'introduction} hline {rm Temps} & {rm Variable }~x 10~rm h & b-a hline {rm Distance} & {rm Fonction }~f 1000~{rm km} & f(b)-f(a) hline {rm Vitesse~moyenne~} V_m & displaystyle{frac{f(b)-f(a)}{b-a}} hline end{array}$

$V_m=frac{1000~{rm km}}{10~rm h}=100 ~{rm km.h}^{-1}$

La vitesse moyenne est l'accroissement moyen de la fonction qui donne la distance parcourue en fonction du temps entre le départ et l'arrivée.

[modifier] Exemple 2

Un pays produit annuellement 1000 tonnes de blé en l'an 1900 et 10000 tonnes de blé en l'an 2000. De combien de tonnes la production a-t-elle augmenté en moyenne par an ?

Masquer

Solution

$begin{array}{|c|c|} textrm{Exemple} & textrm{Equivalent~dans~l'introduction} hline {rm Date} & {rm Variable }~x 1900 & a 2000 & b hline {rm Production} & {rm Fonction }~f 1000~rm t & f(a) 10000~rm t & f(b) hline {rm Augmentation~moyenne~de~production} & displaystyle{frac{f(b)-f(a)}{b-a}} hline end{array}$

On a donc une augmentation annuelle moyenne de $frac{f(b)-f(a)}{b-a}=frac{9000~rm t}{100~{rm ans}}=90{rm t/an}$

[modifier] Nombre dérivé d'une fonction en x = a

[modifier] Introduction

L'accroissement moyen d'une fonction sur un intervalle peut être utile pour une première approche, mais n'est pas forcément représentatif du comportement de la fonction sur cet intervalle. Prenons l'exemple de la fonction ci-dessous :

Entre A et B, les variations de la fonction sont beaucoup plus brutales que ne le laisse apparaître l'accroissement moyen. L'idéal serait de disposer d'un outil plus fin qui rendrait compte de l'accroissement en chaque point. Géométriquement, un tel outil existe : il s'agit de la tangente à une courbe en un point.

Le coefficient directeur de la tangente en un point A est ici la grandeur qui nous intéresse le plus, car il correspond à l'accroissement de la fonction au point A d'abscisse a.

Ce qu'on cherche à faire est donc : trouver un outil permettant d'obtenir l'accroissement d'une fonction, c'est-à-dire le coefficient directeur de la tangente à sa courbe, en tout point de l'intervalle de définition.

[modifier] Définition du nombre dérivé

Soit $xin I$

On cherche à trouver le coefficient directeur de la tangente à la courbe de ƒ au point d'abscisse x.

Pour ce faire, on réutilise la notion d'accroissement sur un intervalle $[x;x+h],$ où $hinR$ .

L'accroissement moyen de ƒ sur l'intervalle $[x;x+h],$ vaut $frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=frac{f(x+h)-f(x)}h$

Comme ce qui nous intéresse est la tangente, et non une corde, on va diminuer h. Cette manipulation a pour effet de rapprocher les deux points A et B. On s'aperçoit alors que, ce faisant, la corde (AB) se rapproche de plus en plus de la position de la tangente en A à la courbe de ƒ.

Ainsi, lorsque h devient extrêmement petit :

(AB) se confond avec la tangente en A à la courbe de ƒ
l'accroissement moyen de ƒ sur l'intervalle $[x;x+h],$ vaut le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe de ƒ

Voir les exercices sur : Cordes et tangentes.

On introduit ainsi la notion de nombre dérivé :

Définition

La limite de l'accroissement moyen de ƒ entre $a,$ et $a+h,$ lorsque $h,$ tend vers 0 est appelée nombre dérivé de ƒ en $x = a,$ et noté $f '(a),$ ^[1].

$f'(a)=lim_{h to 0} frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Notation en physique

En mathématiques, on utilise la notation avec une prime pour désigner la dérivée.

En physique, on utilise plus couramment une autre notation, appelée notation différentielle. On note $frac{{rm d}f}{{rm d}x}(a)=lim_{h to 0} frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .

Le symbole « petit d » en physique signifie une petite variation de la grandeur qui suit le d. La notation $frac{{rm d}f}{{rm d}x}(a)$ signifie donc qu'on considère :

une toute petite variation des valeurs de ƒ (dƒ, qui correspond à $f(a+h)-f(a),$ lorsque $hto 0$ )
divisée par une toute petite variation des valeurs de x autour de a (dx, qui correspond à $(a+h)-(a),$ lorsque $hto 0$ )
le tout au point d'abscisse a

[modifier] Interprétation graphique

Propriété

$f'(a),$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de ƒ au point A.

[modifier] Restrictions

Nous verrons par la suite que le nombre dérivé n'est pas toujours défini.

Définition

Si, en un point $ain I,~f'(a)$ existe, on dit que ƒ est dérivable en a.

[modifier] Notes

↑ ƒ '(a) se lit « f prime de a »

Fonction dérivée : Fonction dérivée
Fonction dérivée/Fonction dérivée

Une page de Wikiversité.

< Fonction dérivée

Aller à : Navigation, rechercher

**Fonction dérivée**
Leçon : Fonction dérivée

Chapitre 3
Chap. préc. :	Équation d'une tangente
Chap. suiv. :	Dérivée et variations

Sommaire

[masquer]

[modifier] Définition

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans $R$

Dérivabilité

On dit que ƒ est dérivable sur $I$ si, pour tout $ain I$ , ƒ est dérivable en a, c'est-à-dire que le nombre dérivé de ƒ en a (noté ƒ'(a)) existe.

Supposons maintenant ƒ dérivable sur I. On peut alors définir la fonction dérivée de ƒ.

Fonction dérivée

La fonction dérivée de ƒ, notée $f',$ ,est la fonction qui, à chaque $xin I$ associe le nombre dérivé de ƒ en x : $f'(x),$ .

$begin{array}{ccccc} f'&:&I&rightarrow&R ~&~&x&mapsto&f'(x) end{array}$

[modifier] Calcul basique

Dans ce paragraphe, on montre comment calculer à partir de la définition la fonction dérivée d'une fonction donnée sur l'exemple de la fonction carré.

Exemple

On considère la fonction $f: x mapsto x^2$ , dont on admet la dérivabilité sur $R$ .

Soit $ainR$ . On cherche à calculer le nombre dérivé de ƒ en a, c'est-à-dire $lim_{h to 0} frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Soit $hinR$ :

$begin{align} frac{f(a+h)-f(a)}{h} &= frac{(a+h)^2-a^2}{h} &= frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h} &= frac{2ah+h^2}{h} &= 2a+h end{align}$

Le nombre dérivé de ƒ en a est donc $lim_{h to 0} frac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a$ , et ce pour tout $ainR$ .

On en déduit que la fonction dérivée de $f:xmapsto x^2$ est $f':xmapsto 2x$ .

On voit bien que cette méthode induit rapidement de gros calculs, aussi par la suite on apprendra une table des dérivées pour les fonctions les plus couramment employées afin d'éviter cette corvée.

[modifier] Dérivées des fonctions usuelles

[modifier] Fonctions ƒ : x → xⁿ avec n ∈ Z^*

Théorème

Soit $ninmathbb Z^*$

La fonction $f:xmapsto x^n$ est dérivable sur $R$

Pour tout $xinR,~f'(x)=n,x^{n-1}$

Quelques dérivées de fonctions de la forme x → xⁿ

$f(x) = x = x^1 Rightarrow f'(x) = 1x^0 = 1$
$f(x) = x^2 Rightarrow f'(x) = 2x^1 = 2x$
$f(x) = x^3 Rightarrow f'(x) = 3x^2$
$f(x) = frac{1}{x} = x^{-1} Rightarrow f'(x) = -1x^{-2} = -frac{1}{x^2}$

[modifier] Tableau récapitulatif des dérivées usuelles

Soit $ninmathbb Z^*$

Soient $ainR$ et $binR$

$f (x)$	$f'(x)$	Intervalle de dérivabilité
$lambda,$	$0,$	$R$
$x,$	$1,$	$R$
$ax+b,$	$a,$	$R$
$x^n,$	$n,x^{n-1}$	si $n > 0 : R$ si $n < 0 : R^{*}$
$frac{1}{x}$	$-frac{1}{x^2}$	$R^{*}$
$sqrt{x}$	$frac{1}{2sqrt{x}}$	$]0;+infty[$
$cos(x),$	$-sin(x),$	$R$
$sin(x),$	$cos(x),$	$R$

Fonction dérivée : Dérivée d'un produit
Fonction dérivée/Dérivée d'un produit

Une page de Wikiversité.

< Fonction dérivée

Aller à : Navigation, rechercher

**Dérivée d'un produit**
Leçon : Fonction dérivée

Chapitre 6
Chap. préc. :	Extremum local
Chap. suiv. :	Dérivée de la puissance énième d'une fonction

Sommaire

[masquer]

[modifier] Dérivée d'une fonction puissance

Théorème

La dérivée de la fonction $xmapsto x^n$ est $xmapsto n.x^{n-1}$

[modifier] Exemples

$f:xmapsto x^5$

ƒ est dérivable sur $R$ et, pour tout $xinR,~f'(x)=dots$

$f'left(frac13right)=dots$

Masquer

Solution

ƒ est dérivable sur $R$ et, pour tout $xinR,~f'(x)=5x^4,$

$f'left(frac13right)=5frac1{3^4}=frac5{81}$

$f:xmapsto x^{-1}$

ƒ est dérivable sur $R^*$ et, pour tout $xinR^*,~f'(x)=dots$

$f'left(frac25right)=dots$

Masquer

Solution

Pour tout $xinR^*,~f'(x)=-1x^{-2}=frac{-1}{x^2}$

$f'left(frac25right)=frac{-1}{frac{2^2}{5^2}}=frac{-25}4$

$f:xmapsto x^{27}$

ƒ est dérivable sur $R$ et, pour tout $xinR,~f'(x)=dots$

$f'left(-frac32right)=dots$

Masquer

Solution

Pour tout $xinR,~f'(x)=27x^{26}= 27(x^2)^{13}$

$f'left(-frac32right)=27left[left(-frac32right)^2right]^{13} =27frac{9^{13}}{4^{13}}$

$f:xmapsto x^{-2}$

ƒ est dérivable sur $R^*$ et, pour tout $xinR^*,~f'(x)=dots$

$f'(-2)=dots$

Masquer

Solution

Pour tout $xinR^*,~f'(x)=-2x^{-3}=frac{-2}{x^3}$

$f'(-2)=frac{-2}{(-2)^3}=frac14$

[modifier] Dérivée d'un produit

Théorème

La dérivée d'une fonction produit $f= utimes v$ est : $f' = u 'times v +utimes v '$

[modifier] Exemples

$f:xmapsto(5x^2+3).(2x+3)$

ƒ est dérivable sur $R$ et, pour tout $xinR$ :

$begin{cases}u(x)=ldotsv(x)=ldotsu'(x)=ldotsv'(x)=ldotsf'(x)=ldotsf'(3)=ldotsend{cases}$

Masquer

Solution

Pour tout $xinR$

$begin{cases}u(x)=5x^2+3v(x)=2x+3u'(x)=10xv'(x)=2begin{align} f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)&=10x(2x+3)+2(5x^2+3)&=20x^2+30x+10x^2+6&=6(5x^2+5x+1)end{align}f'(3)=366end{cases}$

$f:xmapsto left(-frac52x+3right).(2x^3-5)$

ƒ est dérivable sur $R$ et, pour tout $xinR$ :

$begin{cases}u(x)=ldotsv(x)=ldotsu'(x)=ldotsv'(x)=ldotsf'(x)=ldotsf'(3)=ldotsend{cases}$

Masquer

Solution

Pour tout $xinR$

$begin{cases}u(x)=-frac52x+3v(x)=2x^3-5u'(x)=-frac52v'(x)=6x^2 begin{align}f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)&=-frac52(2x^3-5)+6x^2left(-frac52x+3right) &=-5x^3+frac{25}2-15x^3+18x^2&=-20x^3+18x^2+frac{25}2end{align} f'(3)=-frac{731}2end{cases}$

[modifier] Avec des racines carrées

Théorème

Rappel : La dérivée de $xmapsto sqrt{x}$ est $xmapsto frac1{2sqrt x}$

La fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+infty[$ , ouvert en 0.

$f:xmapsto xsqrt{x}$

ƒ est dérivable sur $]0;+infty[$ et, pour tout $xin]0;+infty[$

$begin{cases}u(x)=ldotsv(x)=ldotsu'(x)=ldotsv'(x)=ldotsf'(x)=ldotsf'(3)=ldotsend{cases}$

Masquer

Solution

Pour tout $xin]0;+infty[$

$begin{cases}u(x)=xv(x)=sqrt xu'(x)=1v'(x)=frac1{2sqrt x} begin{align}f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)&=sqrt x+frac x{2sqrt x}&=sqrt x+frac{sqrt x}2=frac32sqrt xend{align}f'(3)=frac32sqrt3end{cases}$

Fonction dérivée : Dérivée d'un quotient
Fonction dérivée/Dérivée d'un quotient

Une page de Wikiversité.

< Fonction dérivée

Aller à : Navigation, rechercher

**Dérivée d'un quotient**
Leçon : Fonction dérivée

Chapitre 8
Chap. préc. :	Dérivée de la puissance énième d'une fonction
Chap. suiv. :	Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction

Sommaire

[masquer]

[modifier] Dérivée d'un inverse

Théorème

Soit u une fonction dérivable et ne s'annulant pas sur un domaine I.

La dérivée de la fonction $f = frac{1}{u}$ est définie sur I par l'expression $f ' = -frac{u'}{u^2}$

Voir les exercices sur : Dériver des fractions rationnelles.

Dérivée de la fonction inverse

La dérivée sur $Rbackslash{0}$ de la fonction inverse $f:xmapsto frac{1}{x}$ est $f'(x)mapsto -frac{1}{x^2}$

[modifier] Exemple 1

On souhaite dériver la fonction $f:xmapstofrac{1}{x^2+1}$ , définie sur $R$

Pour tout $xin R$ :

$u(x)=cdots$

$u'(x)=cdots$

$f'(x)=cdots$

$f'(-1)=cdots$

Masquer

Solution

Pour tout $xinR,~u(x) = x^2+1$

u est dérivable sur $R$ et, pour tout $xin R$ :

$u'(x) = 2x ,$

u ne s'annule pas sur $R$ donc, d'après le théorème, ƒ est dérivable sur $R$ et, pour tout $xin R$ :

$f'(x)=-frac{u'(x)}{u(x)^2} = -frac{2x}{(x^2+1)^2}$

$f'(-1) = -frac{-1}{((-1)^2+1)^2} = frac{2}{4} = frac{1}{2}$

[modifier] Exemple 2

On souhaite dériver la fonction $f(x) =frac{1}{sqrt{x}+3}$ , définie sur $[0;+infty[$

Pour tout $xin cdots$ :

$u(x)=cdots$

$u'(x)=cdots$

$f'(x)=cdots$

$f'left(frac12right)=cdots$

Masquer

Solution

Pour tout $xin [0;+infty[,~u(x) = sqrt{x}+3$

u est dérivable sur $color{red}]color{black}0;+infty[$ et, pour tout $xin color{red}]color{black}0;+infty[$ :

$u'(x)=frac1{2sqrt x}$

u ne s'annule pas sur $]0;+infty[$ donc, d'après le théorème, ƒ est dérivable sur $]0;+infty[$ et, pour tout $xin ]0;+infty[$ :

$f'(x)=-frac{u'(x)}{u(x)^2}=-frac1{2sqrt x(sqrt{x}+3)^2}$

$f'left(frac12right)=-frac1{2sqrt{frac12}(sqrt{frac12}+3)^2}=frac{12-19sqrt2}{289}$

[modifier] Dérivée d'un quotient

Théorème

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un domaine D.

La dérivée de la fonction $f = frac{u}{v}$ est définie sur D privé des points où v s'annule par l'expression $f '= frac{u' v-u v'}{v^2}$

Masquer

Démonstration

On peut montrer facilement cette formule à partir de la précédente :

$begin{align} f'&=left(frac uvright)' &=left(utimes frac1vright)' &=u'cdotfrac1v+uleft(frac1vright)' &=frac{u'}v-ucdotfrac1{v^2} &=frac{u'v-uv'}{v^2} end{align}$

[modifier] Exemple 1

On souhaite dériver la fonction $f:xmapstofrac{5x^2+3}{2x+3}$ définie sur $I=Rbackslashleft{-frac32right}$

Pour tout $xin I$ :

$u(x)=cdots$

$v(x) =cdots$

$u'(x) =cdots$

$v'(x) =cdots$

$f'(x) =cdots$

$f'(3) =cdots$

Masquer

Solution

Pour tout $xin I,~u(x) = 5x^2+3,$ et $v(x) = 2x+3,$

u et v sont dérivables sur I, donc pour tout $xin I$ :

$u'(x) = 10x,$

$v'(x) = 2,$

v ne s'annule pas sur I donc, d'après le théorème, ƒ est dérivable sur I et, pour tout $xin I$ :

$begin{align} f ' (x) &= frac{u ' (x)v(x) - u(x)v ' (x)}{v(x)^2} &= frac{10x(2x+3) - 2(5x^2+3)}{(2x+3)^2} &= frac{20x^2 + 30x - 10x^2 - 6}{(2x+3)^2} &= frac{10x^2 + 30x - 6}{(2x+3)^2} end{align}$

$begin{align} f ' (3) &= frac{10times 3^2 + 30times 3 - 6}{(2 times 3+3)^2} &= frac{90 + 90 - 6}{9^2} &= frac{174}{81} &= frac{58}{27} end{align}$

[modifier] Exemple 2

On souhaite dériver la fonction $f:xmapstofrac{-5x+3}{2x^3-5}$ , définie sur $I=Rbackslashleft{sqrt[3]{frac52}right}$

Pour tout $xin I$ :

$u(x)=cdots$

$v(x) =cdots$

$u'(x) =cdots$

$v'(x) =cdots$

$f'(x) =cdots$

$f'(3) =cdots$

Masquer

Solution

Pour tout $xin I,~u (x) = -5x + 3$ et $v(x)=2x^3-5,$

u et v sont dérivables sur I, donc pour tout $xin I$ :

$u ' (x) = -5 ,$

$v ' (x) = 6x^2 ,$

v ne s'annule pas sur I donc, d'après le théorème, ƒ est dérivable sur I et, pour tout $xin I$ :

$begin{align} f'(x) &= frac{u ' (x)v(x) - u(x)v ' (x)}{v(x)^2} &=frac{-5(2x^3-5) - (-5x + 3)cdot(6x^2)} {(2x^3-5)^2} &= frac{-10x^3 + 25 + 30x^3 -18x^2}{(2x^3-5)^2} &= frac{20x^3 - 18x^2 + 25}{(2x^3-5)^2} end{align}$

$begin{align} f ' (3) &= frac{20times 3^3 - 18times 3^2 + 25}{(2times 3^3 - 5)^2} &= frac{540 - 162 + 25}{(54 - 5)^2} &= frac{403}{2401} end{align}$

Fonction dérivée : Dérivée et variations
Fonction dérivée/Dérivée et variations

Une page de Wikiversité.

< Fonction dérivée

Aller à : Navigation, rechercher

**Dérivée et variations**
Leçon : Fonction dérivée

Chapitre 4
Chap. préc. :	Fonction dérivée
Chap. suiv. :	Extremum local

Sommaire

[masquer]

[modifier] Sens de variation

[modifier] Lien entre nombre dérivé et sens de variation

Soit ƒ une fonction dérivable sur son intervalle de définition I.

On a vu que, en tout point $ain I,~f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de ƒ dans un repère. De cette propriété, on voit émerger la constatation suivante :

Si $f'(a)>0,$ , la tangente à la courbe de ƒ en a est croissante. Cela induit que, sur une petite zone autour de a, la courbe de ƒ est nécessairement croissante pour pouvoir être tangente à la droite.
Au contraire, si $f'(a)<0,$ la tangente est décroissante. La courbe de ƒ doit alors nécessairement être décroissante sur une petite zone autour de a pour pouvoir satisfaire à la même propriété.

[modifier] Théorème global

Théorème

Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I.

Si sa fonction dérivée $f ',$ est positive sur I, alors la fonction ƒ est croissante sur I.

De même, si sa fonction dérivée $f ',$ est négative sur I, alors la fonction ƒ est décroissante sur I.

On s'intéresse à présent à la stricte croissance de ƒ sur l'intervalle I. Pour cela, il faut remarquer que, si en un point $ain I,~f'(a)=0$ , la tangente à la courbe de ƒ est une droite horizontale.

La fonction ƒ ne sera pas strictement croissante s'il existe des intervalles non réduits à un point où ƒ reste constante, c'est-à-dire s'il n'existe que quelques points isolés où ƒ' s'annule.

Théorème

Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I

Si pour tout $xin I,~f'(x)>0,$ sauf peut-être en un nombre fini de points où $f'(x),$ s'annule, alors ƒ est strictement croissante sur I.
De même, si pour tout $xin I,~f'(x)<0,$ sauf peut-être en un nombre fini de points où $f'(x),$ s'annule, alors ƒ est strictement décroissante sur I.

[modifier] Exemples

Vérifier ce théorème sur les fonctions usuelles sur des intervalles convenables.

$f:xmapsto x^2$

Masquer

Solution

Pour tout $xinR,~f'(x) = 2x$

$begin{array}{c|ccccc|} x&-infty&&0&&+infty hline textrm{Signe~de}~f'(x)&&-&0&+& hline &+infty&&&&+infty textrm{Variations~de}~f&&searrow&&nearrow& &&&0&& end{array}$

$g:xmapstosqrt{x}$

Masquer

Solution

Pour tout $xin ]0;+infty[,~f'(x)=frac1{2sqrt x}$

$begin{array}{c|ccc|} x&0&&+infty hline textrm{Signe~de}~g'(x)&&+& hline &&&+infty textrm{Variations~de}~g&&nearrow& &0&& end{array}$

$h:xmapstofrac{1}{x}$

Masquer

Solution

Pour tout $xinR^*,~h'(x)=-frac1{x^2}$

$begin{array}{c|ccccccc|} x&-infty&&&0&&&+infty hline textrm{Signe~de}~h'(x)&&-&&|&&-& hline &0&&&|&+infty&& textrm{Variations~de}~h&&searrow&&|&&searrow& &&&-infty&|&&&0 end{array}$

[modifier] Exercices

Montrer sur un exemple simple que la réciproque du théorème « strict » est fausse si on enlève la précision : « sauf en un nombre fini de points ».

Masquer

Solution

Il suffit de choisir une fonction constante sur un palier, comme expliqué plus haut.

Étudier les variations de la fonction trinôme $f:xmapsto 2x^2-3x + 1$

Masquer

Solution

On commence par dériver la fonction

ƒ est dérivable et, pour tout $xinR,~f'(x)= 4x-3$

On étudie ensuite le signe de la dérivée

Soit $xinR$

$f'(x) > 0 Leftrightarrow 4x-3>0 Leftrightarrow 4x>3 Leftrightarrow x>frac34$

Donc

ƒ' est strictement positive sur $left]frac34;+inftyright[$
ƒ' est strictement négative sur $left]-infty;frac34right[$

On en déduit les variations de ƒ :

ƒ est strictement décroissante sur $left]-infty;frac34right[$ et strictement croissante sur $left]frac34;+inftyright[$

ƒ atteint son minimum en $x=frac34 ~:~ fleft(frac34right)=-frac18$

[modifier] Tableaux de variations

Pour mettre en relation le signe de la dérivée et les variations d'une fonction,

on utilise un tableau de signe et variations comme ci-dessous :

$begin{array}{c|ccccc|} x&-infty&&frac34&&+infty hline {rm Signe~de~}f'(x) &&-&0&+& hline &+infty&&&&+infty textrm{Variations~de}~f &&searrow&&nearrow& &&&-frac18&& hline end{array}$

Remarques

Noter la différence de légende : on parle du signe de $f'~{rm de}~x$ et des variations de la fonction $f,$ .
Les flèches désignent conventionnellement sauf indication contraire des croissances et décroissances strictes.

Fonction dérivée : Dérivée d'une fonction composée
Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée

Une page de Wikiversité.

< Fonction dérivée

Aller à : Navigation, rechercher

Cette section nécessite des connaissances sur la composition des fonctions, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

**Dérivée d'une fonction composée**
Leçon : Fonction dérivée

Chapitre 10
Chap. préc. :	Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction

Sommaire

[masquer]

[modifier] Dérivée d'une fonction composée

[modifier] Théorème

On s'intéresse dans ce chapitre à la dérivation d'une fonction dont l'expression à partir d'un réel x est obtenue en deux temps :

On applique d'abord une fonction ƒ à x
On applique ensuite au résultat une autre fonction g

Le schéma étudié est donc le suivant :

$begin{array}{ccccl} mathcal D_1 &rightarrow& mathcal D_2 &rightarrow& R x& underset fmapsto & f(x) & underset gmapsto & g(f(x)) end{array}$

qui peut se ramener à l'étude de

$begin{array}{ccl} mathcal D_1 &rightarrow& R x&underset {g circ f}mapsto & g(f(x)) end{array}$

Théorème

Si $f,$ est dérivable sur $I,$ et $g,$ est dérivable sur $f(I),$

alors la composée $g circ f,$ est dérivable sur $I,$ et :

$(g circ f)'=(g' circ f)times f'$ .

Masquer

Démonstration

Soit $a in I$ . D'après nos hypothèses $f$ est dérivable en $a$ et $g$ en $f (a)$ . Écrivons la définition du nombre dérivé de la fonction $g circ f$ en prenant un $h in mathbb{R}$ :

$lim_{h to 0} frac{(g circ f)(a+h)-(g circ f)(a)}{h} =lim_{h to 0} frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{h}$

On pose $k = f (a + h) - f (a)$ . Clairement

$lim_{h to 0} k=0$

Il vient donc

$begin{array}{ll} displaystyle lim_{h to 0} frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{h}&=displaystyle lim_{h to 0} frac{g(f(a)+k)-g(f(a))}{h} &=displaystyle lim_{h to 0} frac{g(f(a)+k)-g(f(a))}{k}frac{k}{h} &=displaystyle lim_{k to 0} frac{g(f(a)+k)-g(f(a))}{k} lim_{h to 0}frac{k}{h} &=displaystyle lim_{k to 0} frac{g(f(a)+k)-g(f(a))}{k} lim_{h to 0}frac{f(a+h)-f(a)}{h} &=g'(f(a))f'(a) end{array}$

Ce qui prouve que notre théorème est vrai au point $a$ . On le généralise facilement à tout l'intervalle $I$ .

Masquer

Autre démonstration

La démonstration suivante est plus rigoureuse car elle ne suppose pas que f(a+h)-f(a) ne s'annule jamais au voisinage de a :

$g$ dérivable en $x Leftrightarrow g(x+h)=g(x)+g'(x)h+hepsilon(h)$ avec $lim_{hrightarrow 0}epsilon(h)=0$ (1)
$f$ dérivable en $g(x) Leftrightarrow f[g(x)+h]=(fog)(x)+(f'og)(x)h+hepsilon_1(h)$ avec $lim_{hrightarrow 0}epsilon_1(h)=0$
$(f o g)(x + h) = f [g (x + h)] = f [g (x) + g'(x) h + h ε(h)]$ d'après (1). Nous noterons (2) cette égalité.

Posons $h' = g'(x) h + h ε(h)$ . Nous noterons (3) cette égalité. On a bien $lim_{hrightarrow 0}h'(h)=0$ .

Alors : $(f o g)(x + h) = f [g (x) + h'] = (f o g)(x) + (f' o g)(x) h' + h'ε 1 (h)$ d'après (2)

$= (f o g)(x) + h [(f' o g)(x) g'(x) + (f' o g)(x)ε(h)] + h ε 1 (h) g'(x) + h ε(h)ε 1 (h)$ d'après (3)

$= (f o g)(x) + h [(f' o g)(x) g'(x)] + h [(f' o g)(x)ε(h) + ε 1 (h) g'(x) + ε(h)ε 1 (h)]$

$= (f o g)(x) + a h + h ε 2 (h)$

avec $a=(fog)'(x)=(f'og)(x)times g'(x)$

et $ε 2 (h) = (f' o g)(x)ε(h) + ε 1 (h) g'(x) + ε(h)ε 1 (h)$ (on a bien $lim_{hrightarrow 0}epsilon_2(h)=0$ ).

Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux domaines de définition et de dérivabilité. Nous allons le voir sur quelques exemples.

[modifier] Exemple 1

Exemple

Soit h la fonction définie sur $R$ par $h:xmapsto sin(3x^2+2)$ . Dériver h

Méthode de dérivation

Faire le schéma décomposant h en deux étapes
Identifier $f,$ et $g,$
Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de ƒ et calculer sa dérivée $f',$
Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de g et calculer sa dérivée $g',$
Exprimer h' à l'aide du théorème.

Le schéma est

$begin{array}{ccccl} color{magenta}R &rightarrow & color{green} R &rightarrow& R x& underset {color{blue}f}mapsto &color{blue}3x^2+2& underset {color{red}g}mapsto & color{red}sin(color{blue}3x^2+2color{red}) end{array}$

et se ramène à

$begin{array}{ccl} color{magenta}R &rightarrow& R x&underset {gcirc f}mapsto & color{red}sin(color{blue}3x^2+2color{red}) end{array}$

Les deux fonctions mises en jeu sont alors :

$f:xmapsto 3x^2+2$

$g:xmapsto sin(x)$

On a bien $h=gcirc f$

ƒ est définie et dérivable sur $I=color{magenta}R$ et, pour tout $xinR,~f'(x)=6x$
g est définie et dérivable sur $color{green}R$ et $f(I)subsetcolor{green}R$ et, pour tout $Xincolor{green}Rcolor{black},~g'(X)=cos(X)$

On applique la formule du théorème :

Pour tout $xincolor{magenta}R$ :

$begin{align} h'(x)&=color{red}g'color{black}circ color{blue}f(x)color{black} times f'(x) &= color{red}cos(color{blue}3x^2+2color{red})color{black} times 6x end{align}$

Finalement, pour tout $xinR,~h'(x)=6xcos(3x^2+2)$

[modifier] Exemple 2

Exemple

Soit h la fonction définie par $h:xmapsto sqrt{x^2-3x+2}$ .

Déterminer les domaines de définition et de dérivabilité $mathcal D$ et $mathcal D'$ de h
Dériver h

Domaine de définition

Une racine carrée est définie si et seulement si son contenu est positif.

Une étude de la fonction du second degré $xmapsto x^2-3x+2$ donne le tableau de signes suivant :

$begin{array}{c|ccccccc|} x&-infty&&1&&2& &+infty hline textrm{Signe~de}~x^2-3x+2&&+&0&-&0&+& hline end{array}$

Pour des rappels sur la résolution des inéquations du second degré, se reporter au cours sur les fonctions et équations du second degré.

Donc h est définie sur $mathcal D=]-infty;1]cup[2;+infty[$

Étude de la dérivabilité

Le schéma est

$begin{array}{ccccl} mathcal D &rightarrow & color{magenta}R^+ &rightarrow& R x& underset {color{blue}f}mapsto &color{blue}x^2-3x+2& underset {color{red}g}mapsto & color{red}sqrt{color{blue}x^2-3x+2} end{array}$

et se ramène à

$begin{array}{ccl} mathcal D &rightarrow& R x&underset {gcirc f}mapsto & color{red}sqrt{color{blue}x^2-3x+2} end{array}$

Les deux fonctions mises en jeu sont alors :

$f:xmapsto x^2-3x+2$

$g:xmapsto sqrt{x}$

On a bien $h=gcirc f$

ƒ est définie et dérivable sur $mathcal D$ et, pour tout $xinmathcal D,~f'(x)=2x-3$

g est définie sur $color{magenta}R^+$ , mais n'est dérivable que sur $R^{+*}$

Pour avoir la dérivabilité de $gcirc f$ , il faut donc retirer tous les points pour lesquels $x^2-3x+2=0,$ , c'est-à-dire 1 et 2.

Au total, $gcirc f$ est dérivable sur $mathcal D'=]-infty;1color{red}[color{black}cupcolor{red}]color{black}2;+infty[$

On applique la formule du théorème :

Pour tout $xinmathcal D'$ :

$begin{align} h'(x)&=color{red}g'color{black}circ color{blue}f(x)color{black} times f'(x) &= color{red}frac1{2sqrt{color{blue}x^2-3x+2}}color{black} times 2x-3 end{align}$

Finalement, pour tout $xinmathcal D',~h'(x)=frac{2x-3}{2sqrt{x^2-3x+2}}$

[modifier] Autres exemples

Voir les exercices sur : Dérivée d'une fonction composée.

Dériver les fonctions suivantes en utilisant la formule de composition en précisant le domaine sur lequel cette dérivation est valable.

$h_1:xmapsto sqrt{x^2 + x + 1}$
$h_2:xmapsto frac{1}{(5x-4)^2}$

Masquer

Solution

Étude de h₁

Une racine carrée est définie si et seulement si son contenu est positif.

Une étude de la fonction du second degré $xmapsto x^2 + x + 1$ montre que, pour tout $xinR,~x^2+x+1 > 0$

Pour des rappels sur l'étude du signe d'expressions du second degré, se reporter au cours sur les fonctions et équations du second degré.

Donc h₁ est définie sur $R$

Le schéma est

$begin{array}{ccccl} R &rightarrow & R^{+*} &rightarrow& R x& underset {color{blue}f}mapsto &color{blue}x^2+x+1 & underset {color{red}g}mapsto & color{red}sqrt{color{blue}x^2+x+1} end{array}$

et se ramène à

$begin{array}{ccl} mathcal D &rightarrow& R x&underset {gcirc f}mapsto & color{red}sqrt{color{blue}x^2+x+1} end{array}$

Les deux fonctions mises en jeu sont alors :

$f:xmapsto x^2+x+1$

$g:xmapsto sqrt{x}$

On a bien $h_1=gcirc f$

ƒ est définie et dérivable sur $R$ et, pour tout $xinR,~f'(x)=2x+1$

g est définie sur $R^+$ , mais n'est dérivable que sur $R^{+*}$

Pour avoir la dérivabilité de $gcirc f$ , il faut vérifier que $x^2+x+1,$ ne s'annule pas sur $R$ , ce qui est vrai.

Au total, $gcirc f$ est dérivable sur $R$

On applique la formule du théorème :

Pour tout $xinR$ :

$begin{align} h_1'(x)&=color{red}g'color{black}circ color{blue}f(x)color{black} times f'(x) &= color{red}frac1{2sqrt{color{blue}x^2+x+1}}color{black} times 2x+1 end{align}$

Finalement, pour tout $xinR',~h_1'(x)=frac{2x+1}{2sqrt{x^2+x+1}}$

Étude de h₂

Soit $xinR$

$begin{align} (5x-4)^2=0 &Leftrightarrow 5x-4=0 &Leftrightarrow x=frac45 end{align}$

Donc h₂ est définie sur $mathcal D=Rbackslashleft{frac45right}$

Le schéma est

$begin{array}{ccccl} mathcal D &rightarrow & R &rightarrow& R x& underset {color{blue}f}mapsto &color{blue}(5x-4)^2& underset {color{red}g}mapsto & displaystyle{color{red}frac1{color{blue}(5x-4)^2}} end{array}$

et se ramène à

$begin{array}{ccl} mathcal D &rightarrow& R x&underset {gcirc f}mapsto & displaystyle{color{red}frac1{color{blue}(5x-4)^2}} end{array}$

Les deux fonctions mises en jeu sont alors :

$f:xmapsto (5x-4)^2$

$g:xmapsto frac1x$

On a bien $h_2=gcirc f$

ƒ est définie et dérivable sur $R$ et, pour tout $xinR,~f'(x)=10(5x-4)$

g est définie et dérivable sur $R^*$

Pour avoir la définition et la dérivabilité de $gcirc f$ , il faut donc retirer tous les points pour lesquels $(5x-4)^2=0,$ , c'est-à-dire $frac45$

Au total, $gcirc f$ est dérivable sur $mathcal D$

On applique la formule du théorème :

Pour tout $xinmathcal D$ :

$begin{align} h_2'(x)&=color{red}g'color{black}circ color{blue}f(x)color{black} times f'(x) &= color{red}-frac1{(color{blue}(5x-4)^2color{red})^2}color{black} times 10(5x-4) end{align}$

Finalement, pour tout $xinmathcal D,~h_2'(x)=frac{-10}{(5x-4)^3}$

[modifier] Conséquences : Formules de dérivation

Soit u une fonction définie sur un domaine $mathcal D$ à valeurs dans $R$

On obtient les formules de dérivation de composées suivantes :

$begin{array}{|c|c|c|} textrm{Fonction}&textrm{Derivee} hline sin(u) & u' cdot cos(u) cos(u) & -u'cdotsin(u) e^u & u' cdot e^u end{array}$

Si de plus, pour tout $xinmathcal D,~u(x)>0$

$begin{array}{|c|c|c|} textrm{Fonction}&textrm{Derivee} hline sqrt u & displaystyle{frac{u'}{2sqrt u}} ln(u) & displaystyle{frac{u'}u} end{array}$

Masquer

Démonstration

Prenons l'exemple de $h=u^n,$ .

$h=vcirc u,$ avec $v(x) = x^n,$ .

$v'(x)=nx^{n-1},$

et avec la formule de dérivation d'une fonction composée :

$(vou)'(x)=(v'circ u)(x)times u'(x),$

donc

$h'(x)=nu(x)^{n-1}times u'(x)=nu'(x)u(x)^{n-1},$

Fonction dérivée : Nombre dérivé Fonction dérivée/Nombre dérivé

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] Accroissement d'une fonction affine

[modifier] Accroissement moyen

[modifier] Introduction

[modifier] Exemple 1

[modifier] Exemple 2

[modifier] Nombre dérivé d'une fonction en x = a

[modifier] Introduction

[modifier] Définition du nombre dérivé

[modifier] Interprétation graphique

[modifier] Restrictions

[modifier] Notes

Fonction dérivée : Fonction dérivée Fonction dérivée/Fonction dérivée

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] Définition

[modifier] Calcul basique

[modifier] Dérivées des fonctions usuelles

[modifier] Fonctions ƒ : x → xn avec n ∈ Z*

[modifier] Tableau récapitulatif des dérivées usuelles

Fonction dérivée : Dérivée d'un produit Fonction dérivée/Dérivée d'un produit

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] Dérivée d'une fonction puissance

[modifier] Exemples

[modifier] Dérivée d'un produit

[modifier] Exemples

[modifier] Avec des racines carrées

Fonction dérivée : Dérivée d'un quotient Fonction dérivée/Dérivée d'un quotient

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] Dérivée d'un inverse

[modifier] Exemple 1

[modifier] Exemple 2

[modifier] Dérivée d'un quotient

[modifier] Exemple 1

[modifier] Exemple 2

Fonction dérivée : Dérivée et variations Fonction dérivée/Dérivée et variations

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] Sens de variation

[modifier] Lien entre nombre dérivé et sens de variation

[modifier] Théorème global

[modifier] Exemples

[modifier] Exercices

[modifier] Tableaux de variations

Fonction dérivée : Dérivée d'une fonction composée Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée

Une page de Wikiversité.

Sommaire

[modifier] Dérivée d'une fonction composée

[modifier] Théorème

[modifier] Exemple 1

[modifier] Exemple 2

[modifier] Autres exemples

[modifier] Conséquences : Formules de dérivation

Fonction dérivée : Nombre dérivé
Fonction dérivée/Nombre dérivé

Fonction dérivée : Fonction dérivée
Fonction dérivée/Fonction dérivée

[modifier] Fonctions ƒ : x → xⁿ avec n ∈ Z^*

Fonction dérivée : Dérivée d'un produit
Fonction dérivée/Dérivée d'un produit

Fonction dérivée : Dérivée d'un quotient
Fonction dérivée/Dérivée d'un quotient

Fonction dérivée : Dérivée et variations
Fonction dérivée/Dérivée et variations

Fonction dérivée : Dérivée d'une fonction composée
Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée