Fonction exponentielle : L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle
Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle

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**L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle**
Leçon : Fonction exponentielle

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien

Sommaire

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[modifier] Exponentielle et équation différentielle

Définition

Il existe une unique fonction dérivable de $R$ dans $R$ , appelée fonction exponentielle et notée exp qui vérifie :

$exp(0)=1,$
Pour tout $xinR,~exp'(x)=exp(x)$

Autrement dit, l'exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée valant 1 en 0.

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Démonstration

Existence : L'existence peut être démontrée à l'aide du calcul intégral. On propose ici une démonstration de l'existence à l'aide des suites.

Soit $x in R$ . Introduisons la suite $(u n (x))$ définie, pour tout $n in N$ par $u_n(x)=left( 1+ frac{x}{n} right)^n$ .

Convergence de la suite $(u n (x))$ :

Lemme: Pour tout $h > - 1$ et $n in N$ tel que $n > - x$ , on a $u_{n+1} (x+h) geq (1+h) u_n (x)$ .
Proposition 1: Pour tout $nin N$ tel que $n + 1 > | x |$ , on a $left( 1+frac{x}{n}right)^n leq left( 1+frac{x}{n+1}right)^{n+1}leq left( 1-frac{x}{n+1}right)^{-n-1}leq left( 1-frac{x}{n}right)^{-n}$
Conséquence: La suite $(u n (x))$ est convergente.

A partir du rang $n > | x |$ , la suite $(u n (x))$ est croissante et majorée par $left( 1-frac{x}{E(x)}right)^{-E(x)}$

Étude de la limite de la suite $(u n (x))$ :

Notons $ell (x)$ la limite de la suite $(u n (x))$ .

Proposition 2: Pour h>-1, $ell (x+h)-ell(x) geq ell(x)h$ .

Il suffit d'appliquer le lemme et de faire tendre $n$ vers $+infty$ . On obtient alors $ell(x+h) geq (1+h) ell(x)$ .

Corollaire 1: Pour h<1, $(1-h) ell(x+h)leq ell(x)$ .

On applique la proposition 2 en remplaçant $h$ par $- h$ et $x$ par $x + h$

Corollaire 2: Ainsi, en combinant les deux inégalités précédentes, on a, pour $| h | < 1$ , $ell(x) h leq ell(x+h)-ell(x) leq frac{h}{1-h}ell(x)$ .
Corollaire 3: $ell$ est dérivable sur $R$ et a pour dérivée elle même, c'est-à-dire: pour tout $xin R$ , $ell'(x) = ell(x)$ .

Ainsi, la fonction $ell: x mapsto lim_{n rightarrow +infty} left( 1 +frac{x}{n}right)^n$ est une solution de $(E)$ .

Unicité :

Remarquons tout d'abord que f ne s'annule pas sur $R$ .

En effet la fonction définie par $phi (x)=f(x)times f(-x)$ a pour dérivée :

$phi'(x)=f'(x)times f(-x)-f(x)times f'(-x)=f(x)times f(-x)-f(x)times f(-x)=0$ .

donc $phi,$ est constante et comme $phi (0)=1,$ ,

on en déduit $phi(x)=1,$ pour tout x.

Finalement $f(x)times f(-x)=1$ pour tout x donc $f(x),$ ne s'annule pas.

Soit g une autre fonction dérivable sur $R$ telle que :

$g'=g,$ et $g(0)=1,$ ,

alors $h=frac{g}{f}$ est défine et dérivable sur $R$ (car f ne s'annule pas).

Alors $h'=frac{g'f-gf'}{f^2}=frac{gf-gf}{f^2}=0$

donc h est constante sur $R$ . Or $h(0)=frac{g(0)}{f(0)}=1$ donc $g=f,$ .

[modifier] Calculatrice

Pour prendre l'exponentielle d'un nombre, on utilise la touche « e^x ».

On effectue souvent cette opération en utilisant le préfixe « seconde » ou « shift » suivi de la touche ln.

[modifier] Exemples

[modifier] Cas général

Théorème

Pour tout réel k, il existe une unique fonction dérivable sur $R$ telle que $f'=kcdot f,$ et $f(0)=1,$ .

Cette fonction est $f:xmapstoexp(kx),$ .

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Démonstration

Existence : $f'(x)=kcdotexp(kx)=kf,$ .

Unicité : Soit g une autre fonction dérivable sur $R$ telle que :

g' = k g

g (0) = 1

alors $h=frac{g}{f}$ est défine et dérivable sur $R$ (car f ne s'annule pas).

Alors $h'=frac{g'f-gf'}{f^2}=frac{kgf-gkf}{f^2}=0$

donc h est constante sur $R$ . Or $h(0)=frac{g(0)}{f(0)}=1$ donc $g = f$ .

Fonction exponentielle : Propriétés algébriques de l'exponentielle
Fonction exponentielle/Propriétés algébriques de l'exponentielle

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**Propriétés algébriques de l'exponentielle**
Leçon : Fonction exponentielle

Chapitre 3
Chap. préc. :	L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien
Chap. suiv. :	Étude de la fonction exponentielle

Sommaire

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[modifier] Propriété fondamentale

Propriété

Pour tous nombres réels a et b, on a :

$exp(a+b)=exp(a) times exp(b)$

Réciproquement si pour tous nombres réels a et b, on a une fonction f non nulle vérifiant :

$f(a+b)=f(a) times f(b)$

alors $f(x)=exp(kx),$

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Démonstration avec le logarithme

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Démonstration sans le logarithme

Démontrons d'abord la réciproque :

si $f neq 0$ alors il existe a tel que $f(a)neq 0$

mais alors $f(a+0)=f(a)times f(0)$ donc $f(0)=1,$ .

Fixons maintenant un réel y et posons $phi:xmapsto f(x+y)=f(x)times f(y)$ .

Pour tout $x,~phi'(x)=f'(x+y)=f'(x)times f'(y)$ .

Pour $x = 0$ , on obtient : $f'(y)=f'(0)times f(y)$ .

En posant $f'(0)=k,$ cela démontre la réciproque d'après ce théorème

Supposons maintenant que pour tout $x,~f(x) = exp(x)$ .

En posant $phi:xmapsto frac{exp(x+y)}{exp(x)}$ (exp ne s'annule pas, voir ici).

Pour tout x :

$phi'(x) = frac{exp'(x+y)times exp(x)-exp(x+y)times exp'(x)}{exp(x)^2}$

$phi'(x) = frac{exp(x+y)times exp(x)-exp(x+y)times exp(x)}{exp(x)^2}=0$ .

donc $Φ$ est constante et $Φ(0) = exp(y)$ donc pour tout $x,~phi(x)=exp(y)$ .

On a bien montré que pour tous x et y, $exp(x+y)=exp(x)times exp(y)$

[modifier] Conséquences

On utilisera souvent les formules suivantes qui se déduisent de la propriété algébrique fondamentale.

Propriété

Pour tout $xinR,~exp(-x)=frac1{exp(x)}$
Pour tous réels a et b, $exp(a-b)=frac{exp(a)}{exp(b)}$
Pour tout $xinR$ , pour tout $ninmathbb N^*,~exp(nx)=(exp(x))^n$

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Démonstration

Soit $xinR$ :

$begin{align}1&=exp(0) &=exp(x-x) &=exp(x+(-x)) &=exp(x)timesexp(-x)end{align}$

Donc pour tout $xinR,~exp(-x)=frac1{exp(x)}$

Soient $ainR$ et $binR$ :

$begin{align} exp(a-b)&=exp(a+(-b)) &=exp(a)timesexp(-b) &=frac{exp(a)}{exp(b)}end{align}$

Donc pour tous a et b réels, $xinR,~exp(a-b)=frac{exp(a)}{exp(b)}$

Soit :
- On pose pour tout $ninmathbb N^*$ l'hypothèse $mathcal H_n$ : « $exp(nx)=(exp(x))^n,$ »
- Initialisation : Pour n = 1, $exp(x)=exp(x),$ donc $mathcal H_1$ est vraie
- Soit $ninmathbb N^*$ tel que $mathcal H_n$ soit vraie

$begin{align} (exp(x))^{n+1}&=(exp(x))^n times exp(x) &=exp(nx)timesexp(x)textrm{~par~}mathcal H_n &=exp(nx+x) &=exp((n+1)x) end{align}$

- Donc $mathcal H_{n+1}$ est vraie.
Finalement, le principe de récurrence permet de conclure que pour tout $xinR$ , pour tout $ninmathbb N^*,~exp(nx)=(exp(x))^n$

[modifier] Notation

Notation

On peut adopter une notation de la fonction exponentielle sous la forme d'une puissance :

Pour tout $xinR,~exp(x)=e^x$ .

L’exponentielle se comporte comme si on « prenait » les puissances de e,

$e approx 2,718,$ s'appelle le nombre de Néper.

$exp(2)=e^2,$ est donc simplement e au carré

mais l’exponentielle nous permet de donner un sens à $e^{2,7},$ par exemple.

[modifier] Application

Soit x tel que e^x = 3,56. Calculer e^2x+3 sans calculer x.

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Solution

$e^{2x}=left(e^xright)^2=12,6736$
$e^3approx20,0855$
Donc $e^{2x+3}=e^{2x}times e^3approx254,5561$

Déterminer une valeur approchée de $e^{frac12}$ sans utiliser la touche « e^x » de la calculatrice.

Masquer

Solution

D'après la propriété algébrique :

$(e^frac12)^2=e^1$

donc

$e^frac12=sqrt{e}approxsqrt{2,718}approx1,65$

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

Autre méthode : On sait que $lnleft(expleft(frac12right)right)=frac12$

On tâtonne donc pour trouver un nombre donc le logarithme népérien vaut $frac12$ . Avec un peu de patience, on finit par trouver que $1,64leq e^{frac12}leq 1,65$ .

Fonction exponentielle : Étude de la fonction exponentielle
Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle

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**Étude de la fonction exponentielle**
Leçon : Fonction exponentielle

Chapitre 4
Chap. préc. :	Propriétés algébriques de l'exponentielle
Chap. suiv. :	Croissances comparées

Sommaire

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[modifier] Dérivée de la fonction exponentielle

Théorème

La dérivée de la fonction $f:xmapsto e^x$ est elle-même : $f':xmapsto e^x$

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Démonstration (si l'on ne considère pas que cette propriété fait partie de la définition de exp)

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

Soit la fonction $u:xmapsto e^x$ , définie sur $R$ .
On sait que pour tout $xinR,~ln(e^x)=ln(u(x))=x$ .
En dérivant chaque membre, pour tout $xinR,~frac{u'(x)}{u(x)}=1$ .
Donc pour tout $xinR,~u'(x)=u(x)=e^x$

[modifier] Variations de la fonction exponentielle

[modifier] Positivité de l'exponentielle

Propriété

Pour tout $xinR,~exp(x)>0$

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Démonstration

Pour tout $xinR,e^x=left(e^{frac x2}right)^2$ , donc pour tout $xinR,~e^xgeq0$
De plus, s'il existe $x_0inR$ tel que $e^{x_0}=0$ ,

alors pour tout $xinR,~e^x=e^{(x-x_0)+x_0}=e^{x_0}times e^{x-x_0}=0$ , ce qui est faux car $exp(0)=1,$

Donc pour tout $xinR,~exp(x)>0$

[modifier] Variations de la fonction exponentielle

Théorème

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $R$ .

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Démonstration

On sait que si pour tout $xinR,~f(x)=e^x$ , alors f est dérivable et pour tout $xinR,~f'(x)=e^x$ .
Donc pour tout $xinR,~f'(x)>0$ car l’exponentielle d’un nombre réel est strictement positive.
Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur $R$ .

[modifier] Limites aux bornes

[modifier] Limite en + ∞

Théorème

$lim_{xto+infty}e^x=+infty$

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Démonstration

Comme la fonction exponentielle est croissante, il suffit d’étudier la limite de $e n$ , où n est un entier naturel. Cette suite est géométrique de raison e >1, donc elle tend vers plus l’infini quand n tend vers plus l’infini.

[modifier] Limite en -∞

Théorème

$lim_{xto-infty}e^x=0$

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Démonstration

[modifier] Courbe représentative

On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction exponentielle.

[modifier] Tangente remarquable

Propriété

Au point (0 ; 1), la tangente a pour équation $y=x+1,$ ,

on peut donc donner une approximation affine de exp au voisinage de 0 :

$e^xapprox 1+x$

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Démonstration

Le nombre dérivé de l'exponentielle en 0 vaut e⁰=1 et l'ordonnée à l’origine e⁰=1.

Fonction exponentielle : Dérivée de exp(u)
Fonction exponentielle/Dérivée de exp(u)

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**Dérivée de exp(u)**
Leçon : Fonction exponentielle

Chapitre 6
Chap. préc. :	Croissances comparées
Chap. suiv. :	Exponentielle de base a

Sommaire

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[modifier] Dérivée de x → e^ax+b

On considère des fonctions de la forme $xmapsto e^{ax+b}$ .

Par exemple, soit la fonction ƒ définie par :

pour tout $xinR,~f(x)=e^{2x+1}$ .

ƒ est la fonction composée de la fonction affine

$u:xmapsto 2x+1$ , définie sur $R$

et de la fonction exponentielle, ce que l’on représente par le schéma :

$begin{array}{ccccc} x&rightarrow&u(x)&~&~ ~&~&t&rightarrow&e^t=e^{u(x)} end{array}$

Pour calculer l'expression de ƒ', on utilise le théorème suivant :

Théorème

Soient a et b deux réels.

Soit g une fonction définie par $g:xmapsto f(ax+b)$ sur un intervalle I.

Si ƒ est dérivable au point d'abscisse x alors g est dérivable au point d'abscisse a x + b et :

pour tout $xin I,~g'(x)=acdot f'(ax+b)$

Dans notre cas particulier

pour tout $xinR,~f'(x)=2cdot e^{2x+1}$

[modifier] Dérivée de $e u$

Toujours dans l'exemple de la fonction ƒ, on avait pour tout $xinR,~u'(x)=a=2$ .

On généralise ce procédé au cas où u n’est pas forcément affine.

Théorème

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

Alors e^u est dérivable sur I et :

$(e^u)'=u'times e^u$

[modifier] Exemples

Sans se préoccuper de l’intervalle I, dériver les fonctions ƒ suivantes :

[modifier] Exemple 1

$f:xmapsto e^{x^2+1}$

Pour tout $xin I,~u(x)=ldots$

Pour tout $xin I,~u'(x)=ldots$

Donc pour tout $xin I,~f'(x)=ldots$

Masquer

Solution

Pour tout $xin I,~u(x)=x^2+1$

Pour tout $xin I,~u'(x)=2x$

Donc pour tout $xin I,~f'(x)=2xcdot e^{x^2+1}$

[modifier] Exemple 2

$f:xmapsto e^{2x^3+1}$

Masquer

Solution

Pour tout $xin I,~u(x)=2x^3+1$

Pour tout $xin I,~u'(x)=6x^2$

Donc pour tout $xin I,~f'(x)=6x^2cdot e^{2x^3+1}$

[modifier] Exemple 3

$f:xmapsto e^{x^2+2x+1}$

Masquer

Solution

Pour tout $xin I,~u(x)=x^2+2x+1$

Pour tout $xin I,~u'(x)=2x+2=2(x+1)$

Donc pour tout $xin I,~f'(x)=2(x+1)cdot e^{x^2+2x+1}$

[modifier] Exemple 4

$f:xmapsto e^{(x+1)^2}$

Masquer

Solution

Pour tout $xin I,~u(x)=(x+1)^2$

Pour tout $xin I,~u'(x)=2(x+1)$

Donc pour tout $xin I,~f'(x)=2(x+1)cdot e^{(x+1)^2}$

[modifier] Exemple 5

$f_5:xmapsto -3e^{5x^2+3}$

Masquer

Solution

Pour tout $xin I,~u(x)=5x^2+3$

Pour tout $xin I,~u'(x)=10x$

Donc pour tout $xin I,~f_5'(x)=-30xcdot e^{5x^2+3}$

[modifier] Exemple 6

$f_6:xmapsto -3xcdot e^{5x^2+3}$

Masquer

Solution

On remarque que pour tout $xin I,~f_6(x)=xcdot f_5(x)$ Donc pour tout $xin I$

$begin{align}f_6'(x)&=1cdot f_5(x)+x f_5'(x) &=-3e^{5x^2+3}-30x^2cdot e^{5x^2+3} &=-(3+30x^2)e^{5x^2+3} end{align}$

[modifier] Exemple : l’exponentielle décroissante

On considère la fonction définie sur $R$ par $f:xmapsto e^{-x}$ .

On a alors pour tout $xinR,~f'(x)=ldots$ et le tableau de variations :

x
ƒ'
ƒ

Les limites aux bornes sont :

$lim_{xto +infty}e^{-x}=ldots$
$lim_{xto -infty}e^{-x}=ldots$

Masquer

Solution

Pour tout $xinR,~f'(x)=-e^{-x}$

$lim_{xto +infty}e^{-x}=0$
$lim_{xto -infty}e^{-x}=+infty$

$begin{array}{c|ccc|} x&-infty&&+infty hline textrm{Signe~de}~f'(x)&&-& hline &+infty&& textrm{Variations~de}~f&&searrow& &&&0 end{array}$

On peut remarquer que ƒ' = - ƒ ce qui fait de ƒ l’archétype de la solution des situations où plus x augmente, plus ƒ diminue. Physiquement, on retrouve ce comportement dans de nombreuses situations : décharge d’un condensateur, freinage par frottements fluides, loi exponentielle en fiabilité, et bien d’autres…

Exercice : Propriétés algébriques de l'exponentielle
Fonction exponentielle/Exercice/Propriétés algébriques de l'exponentielle

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**Propriétés algébriques de l'exponentielle**
Leçon : Fonction exponentielle

Exercice 3

Cet exercice est de niveau 12.

Sommaire

[masquer]

[modifier] Exercice 1

Soit $xinR$ . Dans chaque cas, simplifier l'expression:

$(e^x)^5times e^{-2x}$
$frac{e^{2x+3}}{e^{2x-1}}$
$frac{e^x+e^{-x}}{e^{-x}}$

Masquer

Solution

$(e^x)^5times e^{-2x}=e^{5x}times e^{-2x}=e^{5x-2x}=e^{3x}$
$frac{e^{2x+3}}{e^{2x-1}}=e^{2x+3}times e^{-(2x-1)}=e^{2x+3-(2x-1)}=e^4$
$frac{e^x+e^{-x}}{e^{-x}}=frac{e^x}{e^{-x}}+frac{e^{-x}}{e^{-x}}=e^{x-(-x)}+1=1+e^{2x}$

[modifier] Exercice 2

Soit $xinR$ . Dans chaque cas, mettre sous la forme d'une seule exponentielle :

$(e^x)^6times e^{-3x}$
$frac{e^{2x+5}}{e^{3x}times e^{-1}}$

Masquer

Solution

$(e^x)^6times e^{-3x}=e^{6x}times e^{-3x}=e^{6x-3x}=e^{3x}$
$frac{e^{2x+5}}{e^{3x}times e^{-1}}=frac{e^{2x+5}}{e^{3x-1}}=e^{2x+5}times e^{-(3x-1)}=e^{2x+5-(3x-1)}=e^{-x+6}$

[modifier] Exercice 3

Soit $xinR$ . Dans chaque cas, mettre sous la forme d'une seule exponentielle :

$(e^x)^5times e^{-4x}$
$frac{e^{2x-5}}{e^{2x}times e^{-1}}$

Masquer

Solution

$(e^x)^5times e^{-4x}=e^{5x}times e^{-4x}=e^{5x-4x}=e^x$
$frac{e^{2x-5}}{e^{2x}times e^{-1}}=frac{e^{2x-5}}{e^{2x-1}}=e^{2x-5}times e^{-(2x-1)}=e^{2x-5-(2x-1)}=e^{-4}$

[modifier] Exercice 4

Démontrer que pour tout réel x :

$frac{e^x-1}{e^x+1}=frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$
$e^{-x}-e^{-2x}=frac{e^x-1}{e^{2x}}$

Masquer

Solution

Soit $xinR$

$frac{e^x-1}{e^x+1}=frac{e^x(1-e^{-x})}{e^x(1+e^{-x})}=frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$
$e^{-x}-e^{-2x}=frac{e^{2x}(e^{-x}-e^{-2x})}{e^{2x}}=frac{e^{2x-x}-e^{2x-2x}}{e^{2x}}=frac{e^x-1}{e^{2x}}$

[modifier] Exercice 5

Démontrer que pour tout réel x :

$frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=frac{1-e^{x}}{1+e^{x}}$
$frac{e^{-x}+1}{e^{-2x}}=e^{x}+e^{2x}$

Masquer

Solution

Soit $xinR$

$frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=frac{e^x(e^{-x}-1)}{e^x(e^{-x}+1)}=frac{1-e^x}{1+e^x}$
$frac{e^{-x}+1}{e^{-2x}}=frac{e^{2x}(e^{-x}+1)}{e^{2x}times e^{-2x}}=frac{e^x+e^{2x}}{e^0}=e^x+e^{2x}$

Exercice : Équations comportant des exponentielles
Fonction exponentielle/Exercice/Équations comportant des exponentielles

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**Équations comportant des exponentielles**
Leçon : Fonction exponentielle

Exercice 1
Chapitre du cours :	Fonction exponentielle
Cet exercice est de niveau 12.

Objectif : On se propose de résoudre un certain nombre d'équations où l'inconnue x est toujours "dans une exponentielle".

Principe général : On change d'inconnue en posant $X = e^x,$ , on résout en X puis avec $~ln$ , on revient à l'inconnue de départ x.

Sommaire

[masquer]

[modifier] Équations se ramenant au premier degré

[modifier] Exemple

Résoudre dans $R,$ l'équation $(E1)~:~3e^x=5e^{x+1}-2$

Masquer

Solution

Soit $x in R$

$(E1) Leftrightarrow 3e^x=5e^xtimes e-2$

On pose $X=~e^x$ . On obtient $(E1)Leftrightarrow 3X=5etimes X-2$

NB : il n'y a plus d'exposant x , le nombre e (constant) ne gêne nullement la résolution. Il s'agit maintenant d'une équation du premier degré d'inconnue X.

$begin{align} (E1) &Leftrightarrow 2=(5e-3)X &Leftrightarrow X=frac{2}{5e-3} end{align}$

On revient à x grâce à la fonction logarithme :

$x=ln X=ln left ( frac{2}{5e-3} right )approx -1,67$

[modifier] Exercice

Résoudre dans $R$ l'équation $(E2)~:~e^{x+2}=3e^x+5$

Masquer

Solution

Soit $x in R$

$(E2)Leftrightarrow e^x times e^2 =3e^x+5$

On pose $X=~e^x$ . On obtient

$begin{align} (E2) &Leftrightarrow e^2times X =3X+5 &Leftrightarrow (e^2-3).X =5 &Leftrightarrow X =frac5{e^2-3} end{align}$

Comme $frac5{e^2-3}>0$ , on peut utiliser la fonction ln pour trouver la solution de (E2) :

$x=ln X=ln left ( frac5{e^2-3} right )$

[modifier] Équations se ramenant au second degré

[modifier] Exemple

Résoudre dans $R,$ l'équation $(E3)~:~-2e^{2x}+5e^x+3=0$ .

Masquer

Solution

Soit $x in R$ :

$(E3) Leftrightarrow -2(e^x)^2+5e^x+3=0$ .

On pose $X=~e^x$ . On a alors $(E3)Leftrightarrow -2X^2+5X+3=0$

C'est une équation du second degré en X de discriminant $Delta=49~>0$ . Elle admet donc deux racines réelles $X_1=~ 3$ et $X_2=-frac12$

On revient à l'inconnue x grâce à la fonction logarithme : $x_1=ln X_1=ln~3 approx 1,1$ et $x_2=~ ln(-0,5)$ , qui n'est pas défini

L'ensemble de solutions de (E3) est donc $S_3=~{ln3}$ .

NB : on peut aussi dire pour x₂ "il n'y a pas de nombre x₂ dont l'exponentielle soit -0,5, car une exponentielle est toujours positive"

[modifier] Exercices

Résoudre dans $R$ l'équation $(E4)~:~-2e^{2x+1} +7 e^x = 3$

Masquer

Solution

Soit $xin R$

$(E4)Leftrightarrow -2e~(e^x)^2+7e^x-3=0$

On pose $X=~e^x$ : $(E4)Leftrightarrow -2eX^2+7X-3=0$

Le discriminant de cette équation du second degré en X est $Delta=7^2-4 times (-2e) times (-3)=49-24e~<0$ .

Cette équation du second degré en X n'admet donc pas de racine réelle.

L'ensemble des solutions de (E4) est $S_4=empty$

Résoudre dans $R$ l'équation $(E5)~:~(e^x + 3)(e^x -5) = 0$

Masquer

Solution

Soit $xin R$

Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs (au moins) est nul, donc

$begin{align} (E5) &Leftrightarrow ((e^x + 3=0)~textrm{ou}~(e^x -5= 0)) &Leftrightarrow ((e^x=-3)~textrm{ou}~(e^x=5)) end{align}$

Comme l'équation $e^x=~-3$ d'inconnue x n'admet pas de solution, l'ensemble des solutions de (E5) est réduit à

$S_5=~{ln(5)}$

Résoudre dans $R$ l'équation $(E6) frac{1}{2e^{-x}+2}=frac{e^x}{2e^x+2}$

Masquer

Solution

Soit $xin R$ .

$2e^x+2 not =0$ et $2e^{-x}+2 not =0$ donc les quotients n'engendrent pas de restrictions particulières.

$begin{align} (E6) &Leftrightarrow frac 1{e^{-x}+1}=frac{e^x}{e^x+1} &Leftrightarrow e^x+1=e^x(e^{-x}+1) &Leftrightarrow e^x+1=1+e^x end{align}$

On remarque alors que cette assertion est vérifiée pour tout $x in R$ !

L'ensemble des solutions de (E6) est donc $S_6=R$

Résoudre dans $R$ l'équation $(E7)~:~e^{2x}+e^x+1=0$

Masquer

Solution

Soit $xin R$ . On pose $X=~e^x$ .

$(E7)Leftrightarrow X^2+X+1=0$

Cette équation du second degré a pour discriminant $Delta=-3,$ , donc n'admet aucune racine réelle.

Donc l'ensemble des solutions de (E7) est $S_7=empty$

NB : il faut garder à l'esprit que X devra être positif pour pouvoir trouver des solutions car c'est une exponentielle.

[modifier] Système avec exponentielles se ramenant à des systèmes linéaires

[modifier] Exercice

Résoudre

$(S)~:~begin{cases} e^x + 3e^y = 5 2e^x -e^y = 3 end{cases}$

Masquer

Solution

Soit $(x,y) in R^2$

On pose $X=~e^x$ et $Y=~e^y$ .

$(S) Leftrightarrow begin{cases} X+3Y=5 2X-Y=3 end{cases}$

On résout le système avec une méthode au choix et on trouve pour solution unique $(X,Y)=~(2,1)$

On revient à (x,y) grâce à la fonction ln : $(x,y)=~(ln X,ln Y)$ .

L'ensemble de solutions de (S) est ${(ln 2,~0)}$

ercice : Étude de la fonction exponentielle
Fonction exponentielle/Exercice/Étude de la fonction exponentielle

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**Étude de la fonction exponentielle**
Leçon : Fonction exponentielle

Exercice 4

Cet exercice est de niveau 12.

Un certain nombre d'études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de dérivation d'une composée par une fonction affine (niveau 11).

Sommaire

[masquer]

[modifier] Exercice 1

ƒ est la fonction définie sur $[0;+infty[$ par :

pour tout $xin[0;+infty[,~f(x) = -x+frac{5}{2}-e^{-x}$ .

1. Étudier les variations de ƒ.

2. Étudier la limite de ƒ en $+infty$ .

3. Démontrer que la courbe représentative $mathcal C$ de ƒ admet une asymptote oblique $mathcal D$ dont on donnera une équation.

4. Étudier les positions relatives de $mathcal C$ et $mathcal D$ .

5. Déterminer une équation de la tangente à $mathcal C$ au point d'abscisse 2.

Masquer

Solution

1. Étudier les variations de ƒ.

ƒ est dérivable sur $[0;+infty[$ et, pour tout $xin[0;+infty[$ :

$f'(x)=-1-(-1)times e^{-x}=e^{-x}-1$

Or, pour tout $xin[0;+infty[,~e^{-x}leq 1$ donc $f'(x)leq 0$

On en déduit que ƒ est décroissante.

2. Étudier la limite de ƒ en $+infty$ .

$lim_{xto +infty}-x+frac52=-infty$
$lim_{xto +infty}e^{-x}=0$

Donc $lim_{xto +infty}f(x)=-infty$

3. Démontrer que la courbe représentative $mathcal C$ de ƒ admet une asymptote oblique $mathcal D$

On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :

une partie affine : $xmapsto -x+frac52$
une partie qui tend vers 0 : $xmapsto e^{-x}$

Si on pose $g:xmapsto -x+frac52$ , définie sur $R$ et de représentation graphique $mathcal D$ , on a :

$lim_{xto+infty} f(x)-g(x)=0$

Donc $mathcal C$ a pour asymptote la droite $mathcal D$ d'équation $y=-x+frac52$

4. Étudier les positions relatives de $mathcal C$ et $mathcal D$ .

Pour tout $xin[0;+infty[,f(x)-g(x)=-e^{-x}$ , grandeur négative.

Donc $mathcal C$ est en-dessous de son asymptote $mathcal D$

5. Déterminer une équation de la tangente à $mathcal C$ au point d'abscisse 2.

D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à $mathcal C$ au point d'abscisse 2 est :

$begin{align} y&=f(2)+f'(2)cdot(x-2) &=-2+frac52-e^{-2}+(-1+e^{-2})cdot(x-2) &=frac12-e^{-2}+(-1+e^{-2})cdot(x-2) &=frac12-e^{-2}-x+2+e^{-2}x-2e^{-2} &=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+frac52 end{align}$

Donc la tangente à $mathcal C$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+frac52$

[modifier] Exercice 2

ƒ est la fonction définie sur $[0;+infty[$ par :

pour tout $xin[0;+infty[,~f(x) = 2x-frac{5}{2}+2e^{-x}$ .

1. Étudier les variations de ƒ.

2. Étudier la limite de ƒ en $+infty$ .

3. Démontrer que la courbe représentative $mathcal C$ de ƒ admet une asymptote oblique $mathcal D$ dont on donnera une équation.

4. Étudier les positions relatives de $mathcal C$ et $mathcal D$ .

5. Déterminer une équation de la tangente à $mathcal C$ au point d'abscisse 2.

Masquer

Solution

1. Étudier les variations de ƒ.

ƒ est dérivable sur $[0;+infty[$ et, pour tout $xin[0;+infty[$ :

$f'(x)=2+2times(-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})$

Or, pour tout $xin[0;+infty[,~e^{-x}leq 1$ donc $f'(x)geq 0$

On en déduit que ƒ est croissante.

2. Étudier la limite de ƒ en $+infty$ .

$lim_{xto +infty}2x-frac52=+infty$
$lim_{xto +infty}2e^{-x}=0$

Donc $lim_{xto +infty}f(x)=+infty$

3. Démontrer que la courbe représentative $mathcal C$ de ƒ admet une asymptote oblique $mathcal D$

On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :

une partie affine : $xmapsto 2x-frac52$
une partie qui tend vers 0 : $xmapsto 2e^{-x}$

Si on pose $g:xmapsto 2x-frac52$ , définie sur $R$ et de représentation graphique $mathcal D$ , on a :

$lim_{xto+infty} f(x)-g(x)=0$

Donc $mathcal C$ a pour asymptote la droite $mathcal D$ d'équation $y=2x-frac52$

4. Étudier les positions relatives de $mathcal C$ et $mathcal D$ .

Pour tout $xin[0;+infty[,f(x)-g(x)=2e^{-x}$ , grandeur positive.

Donc $mathcal C$ est au-dessus de son asymptote $mathcal D$

5. Déterminer une équation de la tangente à $mathcal C$ au point d'abscisse 2.

D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à $mathcal C$ au point d'abscisse 2 est :

$begin{align} y&=f(2)+f'(2)cdot(x-2) &=2times2-frac52+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2) &=frac32+2e^{-2}+2((1-e^{-2})x-2(1-e^{-2})) &=-frac52+6e^{-2}+2(1-e^{-2})x end{align}$

Donc la tangente à $mathcal C$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=2(1-e^{-2})x-frac52+6e^{-2}$

[modifier] Exercice 3

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

1. $f_1:xmapsto(3x-2)e^x$

2. $f_2:xmapsto frac{x^2}{e^{-x}}$

3. $f_3:xmapsto 3xe^{-3x}$

Masquer

Solution

Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur $R$ .

1. $f_1:xmapsto(3x-2)e^x$

Cette fonction se dérive comme un produit.
- On pose sur $R$ les fonctions $u:xmapsto(3x-2)$ et $v:xmapsto e^x$
- Leurs dérivées sont définies par $u':xmapsto 3$ et $v':xmapsto e^x$
- Finalement, pour tout $xinR, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x$

2. $f_2:xmapsto frac{x^2}{e^{-x}}$

Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
- On remarque que pour tout $xinR,~f_2(x)=frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x$
- On pose sur $R$ les fonctions $u:xmapsto x^2$ et $v:xmapsto e^x$
- Leurs dérivées sont définies par $u':xmapsto 2x$ et $v':xmapsto e^x$
- Finalement, pour tout $xinR, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x$

3. $f_3:xmapsto 3xe^{-3x}$

On va utiliser ce théorème de niveau 11
- On pose sur $R$ les fonctions $u:xmapsto 3x$ et $v:xmapsto e^{-3x}$
- Leurs dérivées sont définies par $u':xmapsto 3$ et $v':xmapsto -3e^{-3x}$
- Finalement, pour tout $xinR, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3+3xtimes(-3))e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}$

[modifier] Exercice 4

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

1. $f_1:xmapsto(5x-2)e^{-x}$

2. $f_2:xmapstofrac{x^2}{e^x}$

3. $f_3:xmapsto 3xe^{-4x}$

4. $f_4:xmapsto e^{2x+3}$

5. $f_5:xmapsto 3e^{-4x}$

6. $f_6:xmapsto xe^{2x-1}$

7. $f_7:xmapsto 3x e^{frac{x}{2}}$

Masquer

Solution

1. $f_1:xmapsto(5x-2)e^{-x}$

On pose sur $R$ les fonctions $u:xmapsto 5x-2$ et $v:xmapsto e^{-x}$
Leurs dérivées sont définies par $u':xmapsto 5$ et $v':xmapsto -e^{-x}$
Finalement, pour tout $xinR, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(5-(5x-2))e^{-x}=(-5x+7)e^{-x}$

2. $f_2:xmapstofrac{x^2}{e^x}$

On pose sur $R$ les fonctions $u:xmapsto x^2$ et $v:xmapsto e^x$
Leurs dérivées sont définies par $u':xmapsto 2x$ et $v':xmapsto e^x$
Finalement, pour tout $xinR, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x$

3. $f_3:xmapsto 3xe^{-4x}$

On pose sur $R$ les fonctions $u:xmapsto 3x$ et $v:xmapsto e^{-4x}$
Leurs dérivées sont définies par $u':xmapsto 3$ et $v':xmapsto -4e^{-4x}$
Finalement, pour tout $xinR, f_3'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3-4cdot 3x)e^{-4x}=3(-4x+1)e^{-4x}$

4. $f_4:xmapsto e^{2x+3}$

On pose sur $R$ la fonction $u:xmapsto 2x+3$
Sa dérivée est définie par $u':xmapsto 2$
Comme $f_4=e^u,$ , on a pour tout $xinR, f_4'(x)=u'(x)e^{u(x)}=2e^{2x+3}$

5. $f_5:xmapsto 3e^{-4x}$

Pour tout $xinR, f_5'(x)=-12e^{-4x}$

6. $f_6:xmapsto xe^{2x-1}$

On pose sur $R$ les fonctions $u:xmapsto x$ et $v:xmapsto e^{2x-1}$
Leurs dérivées sont définies par $u':xmapsto 1$ et $v':xmapsto 2e^{2x-1}$
Finalement, pour tout $xinR, f_6'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x+1)e^{2x-1}$

7. $f_7:xmapsto 3x e^{frac{x}{2}}$

On pose sur $R$ les fonctions $u:xmapsto 3x$ et $v:xmapsto e^{frac{x}{2}}$
Leurs dérivées sont définies par $u':xmapsto 3$ et $v':xmapsto frac12e^{frac{x}{2}}$
Finalement, pour tout $xinR, f_7'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=left(frac32x+3right)e^{frac{x}{2}}$

[modifier] Exercice 5

Pour tout réel λ > 0, on note ƒ_λ la fonction définie sur $R$ par :

pour tout $xinR,~f_{lambda}(x)=frac{e^{lambda x}+e^{-lambda x}}{2lambda}$

1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ_λ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.

2. Démontrer que ƒ_λ est paire, c'est-à-dire pour tout $xinR,~f_{lambda}(-x)=f_{lambda}(x)$ .

3. Étudier les variations de ƒ_λ et déterminer sa limite en $+infty$ .

Masquer

Solution

1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ_λ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.

$color{red}lambda=frac12$
$color{green}lambda=3$

2. Démontrer que ƒ_λ est paire, c'est-à-dire pour tout $xinR,~f_{lambda}(-x)=f_{lambda}(x)$ .

Soit $xinR$

$begin{align} f_{lambda}(-x)&=frac{e^{lambda (-x)}+e^{-lambda (-x)}}{2lambda} &=frac{e^{-lambda x}+e^{lambda x}}{2lambda} end{align}$

Donc ƒ_λ est paire.

3. Étudier les variations de ƒ_λ et déterminer sa limite en $+infty$ .

ƒ_λ est dérivable et, pour tout $xinR$ :

$begin{align} f_{lambda}'(x)&=frac{lambda e^{lambda x}+(-lambda)e^{-lambda x}}{2lambda} &=frac{e^{lambda x}-e^{-lambda x}}2 &=frac{e^{lambda x}left(1-e^{-2lambda x}right)}2 end{align}$

On déduit de cette expression le tableau de signes de ƒ_λ', donc les variations de ƒ_λ.

$begin{array}{c|ccccc|} x&-infty&&0&&+infty hline textrm{Signe~de}~e^{lambda x}&&+&&+& hline textrm{Signe~de}~1-e^{-2lambda x}&&-&0&+& hline &+infty&&&&+infty textrm{Variations~de}~f_lambda&&searrow&&nearrow& &&&frac1{2lambda}&& hline end{array}$

Comme $lim_{xto+infty}e^{-lambda x}=0$ et $lim_{xto+infty}e^{lambda x}=+infty$ , on a $lim_{xto+infty}f_lambda =+infty$
Comme $lim_{xto-infty}e^{-lambda x}=+infty$ et $lim_{xto-infty}e^{lambda x}=0$ , on a $lim_{xto-infty}f_lambda =+infty$

Exercice : Désintégration des corps radioactifs
Fonction exponentielle/Exercice/Désintégration des corps radioactifs

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**Désintégration des corps radioactifs**
Leçon : Fonction exponentielle

Exercice 5
Chapitre du cours :	Fonction exponentielle
Cet exercice est de niveau 12.

La « vitesse de désintégration » d'un corps radioactif, c'est-à-dire le nombre de noyaux qui se désintègrent pendant une seconde,

est proportionnelle au nombre de noyaux $N (t)$ présent à l'instant t.

On peut donc écrire :

$frac{dN(t)}{dt}=-lambda N(t)$

où $λ$ est une constante strictement positive, caractéristique du noyau étudié.

[modifier] La loi de désintégration

On note $N 0$ le nombre de noyaux d'un échantillon du corps radioactif à l'instant $t = 0$ .

Montrer que pour tout réel t, $N(t)=N_0 e^{-lambda t},$ .

C'est la loi de désintégration radioactive.

Masquer

Solution

On retrouve une équation différentielle de la forme y'=ay la solution N(t) de l'équation est donc de la forme $N(t)=ke^{at} ,$ donc $N(t)=ke^{-lambda t}, kin R ,$
$begin{matrix}Or , N_0 &=& N(0) & =& ke^0 & =& kend{matrix} ,$

Donc $N(t)=N_0 e^{-lambda t},$ .

[modifier] Étude de la fonction N

1. Étudier le sens de variation de la fonction N sur $[0;+infty[$ .

2. Étudier la limite de la fonction N en $+infty$ .

3. Dresser le tableau de variation de la fonction N.

Masquer

Solution

1. Etudions la derivée de N(t) : $N'(t)=-N_0 lambda e^{-lambda t} ,$ . N₀ et $e - λ t$ sont positif et $- λ$ est négatif donc $N'(t) ge 0 , forall x ,$
N(t) est donc decroissante sur $]0;+ infty[$
2.

[modifier] Exemples

1. Avec t en milliers d'années la constante caractéristique du carbone 14 est $λ = 0,121$ .

Tracer sur la calculatrice la représentation graphique de la fonction $f (t) = e - 0,121 t$ sur $[0;20[$ .

2. Utiliser la fonction trace pour déterminer la période de demi-vie,

c'est-à-dire le temps au bout duquel il ne reste que la moitié du carbone.

3. Pour l'uranium-238, $λ = 0,154.10 - 6 s - 1$ et pour l'iode-131, $λ = 31625 s - 1$ .

Déterminer leur période de demi-vie à l'aide de la calculatrice.

Masquer

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

Exercice : Équations différentielles
Fonction exponentielle/Exercice/Équations différentielles

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**Équations différentielles**
Leçon : Fonction exponentielle

Exercice 5
Chapitre du cours :	Fonction exponentielle
Cet exercice est de niveau 12.

[modifier] Exercice 1

Déterminer l'unique fonction dérivable sur $R$ vérifiant les conditions données.

Puis vérifier que la solution convient dans chaque cas.

1. $f'=-3f,$ et $f(0)=-2,$ .

2. $f'=frac{1}{2}f,$ et $f(0)=3,$

3. $4f'=f,$ et $f(0)=0,$

Masquer

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Exercice 2

Déterminer l'unique fonction dérivable sur $R$ vérifiant les conditions données.

Puis vérifier que la solution convient dans chaque cas.

1. $f'=3f,$ et $f(0)=-2,$ .

2. $f'=frac{1}{2}f,$ et $f(0)=-3,$

3. $2f'=f,$ et $f(0)=0,$

Masquer

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

Fonction exponentielle : L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle

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Sommaire

[modifier] Exponentielle et équation différentielle

[modifier] Calculatrice

[modifier] Exemples

[modifier] Cas général

Fonction exponentielle : Propriétés algébriques de l'exponentielle Fonction exponentielle/Propriétés algébriques de l'exponentielle

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Sommaire

[modifier] Propriété fondamentale

[modifier] Conséquences

[modifier] Notation

[modifier] Application

Fonction exponentielle : Étude de la fonction exponentielle Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle

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Sommaire

[modifier] Dérivée de la fonction exponentielle

[modifier] Variations de la fonction exponentielle

[modifier] Positivité de l'exponentielle

[modifier] Variations de la fonction exponentielle

[modifier] Limites aux bornes

[modifier] Limite en + ∞

[modifier] Limite en -∞

[modifier] Courbe représentative

[modifier] Tangente remarquable

Fonction exponentielle : Dérivée de exp(u) Fonction exponentielle/Dérivée de exp(u)

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Sommaire

[modifier] Dérivée de x → eax+b

[modifier] Dérivée de eu

[modifier] Exemples

[modifier] Exemple 1

[modifier] Exemple 2

[modifier] Exemple 3

[modifier] Exemple 4

[modifier] Exemple 5

[modifier] Exemple 6

[modifier] Exemple : l’exponentielle décroissante

Exercice : Propriétés algébriques de l'exponentielle Fonction exponentielle/Exercice/Propriétés algébriques de l'exponentielle

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Sommaire

[modifier] Exercice 1

[modifier] Exercice 2

[modifier] Exercice 3

[modifier] Exercice 4

[modifier] Exercice 5

Exercice : Équations comportant des exponentielles Fonction exponentielle/Exercice/Équations comportant des exponentielles

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Sommaire

[modifier] Équations se ramenant au premier degré

[modifier] Exemple

[modifier] Exercice

[modifier] Équations se ramenant au second degré

[modifier] Exemple

[modifier] Exercices

[modifier] Système avec exponentielles se ramenant à des systèmes linéaires

[modifier] Exercice

ercice : Étude de la fonction exponentielle Fonction exponentielle/Exercice/Étude de la fonction exponentielle

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Sommaire

[modifier] Exercice 1

[modifier] Exercice 2

[modifier] Exercice 3

[modifier] Exercice 4

[modifier] Exercice 5

Exercice : Désintégration des corps radioactifs Fonction exponentielle/Exercice/Désintégration des corps radioactifs

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[modifier] La loi de désintégration

[modifier] Étude de la fonction N

[modifier] Exemples

Exercice : Équations différentielles Fonction exponentielle/Exercice/Équations différentielles

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[modifier] Exercice 1

[modifier] Exercice 2

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Fonction exponentielle : Propriétés algébriques de l'exponentielle
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Fonction exponentielle : Étude de la fonction exponentielle
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[modifier] Dérivée de x → e^ax+b

[modifier] Dérivée de $e u$

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