Limites d'une fonction&nbsp;: Limite finie en l'infini Limites d'une fonction/Limite finie en l'infini

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**Limite infinie en l'infini**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 4
Chap. préc. :	Limite finie en l'infini
Chap. suiv. :	Opérations sur les limites

Sommaire

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[modifier] Introduction

Prenons l'exemple de la fonction carrée, dont la courbe est une parabole.

On constate que quand x devient très grand (on dit que x tend vers plus l'infini), son carré x² devient également très grand (il tend vers plus l'infini également). On dit alors que x² a pour limite + ∞ quand x tend vers + ∞.

On le note $lim_{x to +infty} x^2 = +infty$ .

De la même façon, quand x devient très petit (on dit que x tend vers moins l'infini), son carré x² devient très grand (il tend vers plus l'infini). On dit alors que x² a pour limite + ∞ quand x tend vers - ∞.

On le note $lim_{x to -infty} x^2 = +infty$ .

[modifier] Définition heuristique

Définition

Une fonction f tend vers $+infty$ quand x tend vers $+infty$ si,

en prenant x suffisamment grand, on peut rendre f(x) aussi grand que l'on veut.

On note alors $lim_{x to +infty}f(x) = +infty$

[modifier] Exemples

Donner sans démonstration les limites en $+infty$ des fonctions suivantes :

$f_1(x) = 3x^2-2x+5,$
$f_2(x) = -3x^2-2x+5,$
$f_3(x) = frac{2x+5}{3x^2-2x+5}$

Solution

La courbe de f₁ est une parabole « tournée vers le haut ». On a alors $lim_{x to +infty} f_1(x)=+infty$ .
La courbe de f₂ est une parabole « tournée vers le bas ». On a alors $lim_{x to +infty} f_2(x)=-infty$
Pour cette question, il faut un peu se fier à son instinct.
- La courbe de $xmapsto 3x^2-2x+5$ est une parabole tournée vers le haut
- La courbe de $xmapsto 2x+5$ est une droite, représentant une fonction croissante

On divise ainsi un nombre qui grandit par un autre nombre qui grandit. Ce qu'il faut sentir, c'est que la parabole « montant plus vite » que la droite, le dénominateur va tendre vers +∞ beaucoup plus vite que le numérateur. Globalement, on va donc retrouver $lim_{x to +infty} f_3(x)=0$ .

[modifier] Limites des fonctions de référence

Théorème

Si n est un entier >0

$lim_{x to +infty}x^{n} = +infty$

Si n est un entier pair >0

$lim_{x to -infty}x^{n} = +infty$

Si n est un entier impair >0

$lim_{x to -infty}x^{n} = -infty$

Limites d'une fonction : Limite finie en un point
Limites d'une fonction/Limite finie en un point

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**Limite finie en un point**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Limite infinie en un point

Sommaire

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[modifier] Limite finie en un réel : définition heuristique

Définition

Soit une fonction $f,$ définie sur un intervalle $I,$ , $a in I,$ et $Lin R,$ .

On dit que $f,$ a pour limite $L,$ en $x=a,$ si :

"f(x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de L à condition de prendre x assez proche de a."

On note alors :

$lim_{x to a} f(x) = L$

Remarque :

On dit aussi : " $f(x),$ tend vers $L,$ quand $x,$ tend vers $a,$ ".

Exemple : Soit la fonction définie sur $R$ par $f(x)=x^2,$ .

Conjecturer la limite en $x=3,$ de $f,$ .

Solution

Remarque : On pourrait croire que toute fonction $f,$ définie en $x=a,$ a pour limite $f(a),$ en $x=a,$ .

Mais cela n'est pas toujours le cas. C'est le problème de la continuité.

[modifier] Continuité : définition heuristique et définition formelle

Une fonction f est continue en un point a si on peut atteindre f(a) par la gauche et par la droite en suivant la courbe et « sans lever son crayon ». C'est le cas pour la fonction ci-contre.

En revanche, dans ce cas, la courbe de f présente une « coupure » en x=a qui oblige à « lever le crayon » pour parcourir la courbe. On dit alors que la fonction f est discontinue au point a.

Définition

Une fonction $f,$ est continue en $x=a,$ si

elle admet en $x=a,$ une limite égale à sa valeur $f(a),$ :

$lim_{x to a} f(x) = f(a),$ .

Si $f,$ est continue pour tout $x=a,$ de $I,$ ,

on dit que $f,$ est continue sur l'intervalle $I,$ .

[modifier] Limite à gauche et à droite

Définition

Quand on s'approche de a par la gauche (c'est-à-dire pour x se rapprochant de a tout en restant inférieur à a), la valeur de f(x) s'approche d'une valeur appelée la limite à gauche en x = a. Elle est notée :

$lim_{x to a^-} f(x) = f(a)$

Définition

Quand on s'approche de a par la droite (c'est-à-dire pour x se rapprochant de a tout en restant supérieur à a), la valeur de f(x) s'approche d'une valeur appelée la limite à droite en x = a. Elle est notée :

$lim_{x to a^+} f(x) = f(a)$

Graphe et discontinuité

Une fonction ne peut jamais donner deux valeurs différentes au même endroit. Cela implique que, au niveau d'un point de discontinuité, un seul point appartient effectivement à la courbe :

Si la fonction admet une limite à gauche en a, c'est le point « à gauche de la discontinuité » qui appartient bien à la courbe de la fonction. On le marque d'un cercle plein. À l'inverse, le point « à droite de la discontinuité » n'appartient pas à la courbe, et on le marque d'un cercle vide.
Si la fonction admet une limite à droite en a, c'est le point du bord « à droite de la discontinuité » qui appartient bien à la courbe de la fonction. On le marque d'un cercle plein. À l'inverse, le point du bord « à gauche de la discontinuité » n'appartient pas à la courbe, et on le marque d'un cercle vide.

Cette convention est illustrée sur les graphes des définitions des limites.

[modifier] Continuité en un point

On peut donner alors une définition plus précise de la continuité :

Définition

Une fonction f est continue en x=a si : $lim_{x to a^-} f(x) = f(a)=lim_{x to a^+} f(x)$

[modifier] Exemple

Soit la fonction :

$begin{array}{ccccc} f&:&R&rightarrow&R ~&~&x&mapsto&2x end{array}$

Pour a=4, f(a)=8.

Si x tend vers 4 par la gauche, f(x) va s'approcher de plus en plus de f(4)=8 : $lim_{x to 4^-}f(x) = 8$ .

Si x tend vers 4 par la droite, f(x) va s'approcher de plus en plus de f(4)=8 : $lim_{x to 4^+}f(x) = 8$ .

Donc f est continue en x=4.

[modifier] Conclusion

La plupart des fonctions usuelles sont continues en tout point de leur domaine de définition. Mais le langage des limites va permettre de parler de celles qui présentent des singularités en certains points, comme la fonction inverse $f(x) = frac{1}{x}$ , dont voici la courbe :

On constate que la fonction inverse n'est pas continue en x=0, et que non seulement on est obligé de « lever le crayon » pour passer de la branche gauche de la courbe à la branche droite, mais en plus la courbe « part à l'infini ». Ceci nous amène à la notion de limite infinie en un point.

Limites d'une fonction : Limite infinie en un point
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**Limite infinie en un point**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 2
Chap. préc. :	Limite finie en un point
Chap. suiv. :	Limite finie en l'infini

Sommaire

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[modifier] Introduction

[modifier] Limite infinie en un point

[modifier] Exemple

Dans le cas de la fonction inverse ci-dessus, on constate que quand x tend vers 0 par la droite, son inverse $frac{1}{x}$ devient de plus en plus grand. On dit alors qu'il tend vers « plus l'infini », et on note $lim_{x to 0^+} frac{1}{x} = +infty$

Par contre, quand x tend vers 0 par la gauche, son inverse $frac{1}{x}$ devient de plus en plus petit. On dit à ce moment-là qu'il tend vers « moins l'infini », et on note $lim_{x to 0^-} frac{1}{x} = -infty$

[modifier] Définition heuristique

Définition

On dit qu'une fonction f tend vers plus l'infini en un point a si f(x) devient aussi grand qu'on le veut à condition que x s'approche suffisamment de a. On note :

$lim_{x to a} f(x) = +infty$

Définition

On dit qu'une fonction f tend vers moins l'infini en un point a si f(x) devient aussi petit qu'on le veut à condition que x s'approche suffisamment de a. On note :

$lim_{x to a} f(x) = -infty$

On peut également définir des limites infinies à droite ou à gauche d'un point comme on l'a fait avec la fonction inverse.

Exemple

Dans le cas de la fonction ci-contre :

$lim_{x to a^+} f(x) =+infty$

$lim_{x to a^-} f(x) =-infty$

Limites d'une fonction : Théorèmes sur les limites
Limites d'une fonction/Théorèmes sur les limites

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**Théorèmes sur les limites**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 6
Chap. préc. :	Opérations sur les limites
Chap. suiv. :	Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini

[modifier] Théorèmes de domination

Théorème

Soient ƒ et g deux fonctions.

Si $lim_{+infty}f=+infty$ et $ggeq f$ , alors $lim_{+infty}g=+infty$
Si $lim_{+infty}f=-infty$ et $gleq f$ , alors $lim_{+infty}g=-infty$

En effet, si une fonction donnée prend des valeurs de plus en plus grandes (tendant vers +∞), une autre fonction dont les valeurs seraient encore plus grandes fait de même !

De même, si une fonction donnée prend des valeurs de plus en plus petites (tendant vers -∞), une autre fonction dont les valeurs seraient encore plus petites va tendre également vers -∞.

[modifier] Théorème des gendarmes

Théorème

Soit $ainR$

Si $lim_af=L$ et $lim_ah=L$ et $fleq gleq h$ , alors $lim_ag=L$

Ce théorème est également valable pour une limite en l'infini :

Si $lim_{+infty}f=L$ et $lim_{+infty}h=L$ et $fleq gleq h$ , alors $lim_{+infty}g=L$

Si $lim_{-infty}f=L$ et $lim_{-infty}h=L$ et $fleq gleq h$ , alors $lim_{-infty}g=L$

Il se comprend facilement qu'une fonction coincée entre deux autres qui ont la même limite est forcée d'avoir elle aussi cette limite par effet « d'entonnoir ».

Le nom de « théorème des gendarmes » reprend cette image. Un voleur attrapé de part et d'autre par deux gendarmes est bien obligé d'aller au même endroit qu'eux. Outre-Manche, ce théorème est parfois appelé « the sandwich theorem ».

Exemple

Soit $color{blue}g:xmapsto x^2sinleft(frac1xright)$ . On cherche la limite de g en 0.

Cette limite est loin d'être facile à trouver si on n'a pas recours au théorème des gendarmes. Il suffit en effet de poser :

$color{red}f:xmapsto -x^2$

$color{green}h:xmapsto x^2$

Comme pour tout $tinR,~-1leqsin(t)leq 1$ , on a pour tout $xinR^*,~f(x)leq g(x)leq h(x)$

Comme de plus $lim_0f=0$ et que $lim_0h=0$ , le théorème des gendarmes permet de montrer que $lim_0g=0$

Limites d'une fonction : Opérations sur les limites
Limites d'une fonction/Opérations sur les limites

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**Opérations sur les limites**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 5
Chap. préc. :	Limite infinie en l'infini
Chap. suiv. :	Théorèmes sur les limites

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle contenant a ou dont a est une borne.
« FI » signifie que la forme est indéterminée. Il faut transformer l'écriture de la fonction pour trouver une forme qui permet de calculer la limite.

Sommaire

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[modifier] Limite d'une somme

$begin{array}{c|c|c|c|c|} hline displaystyle{lim_a f} & l & ltextrm{~ou~}+infty & ltextrm{~ou~}-infty & +infty hline displaystyle{lim_a g} & l' & +infty & -infty & -infty hline displaystyle{lim_a (f+g)} & l+l' & +infty & -infty & color{Red}{textrm{FI}} hline end{array}$

[modifier] Limite d'un produit

$begin{array}{c|c|c|c|c|} hline displaystyle{lim_a f} & l & lnot =0 & +inftytextrm{~ou~}-infty & 0 hline displaystyle{lim_a g} & l' & +inftytextrm{~ou~}-infty & +inftytextrm{~ou~}-infty & +inftytextrm{~ou~}-infty hline displaystyle{lim_a (ftimes g)} & ltimes l' & color{Blue}{+inftytextrm{~ou~}-infty} & color{Blue}{+inftytextrm{~ou~}-infty} & color{Red}{textrm{FI}} hline end{array}$

Pour déterminer le signe des limites en bleu, on se réfèrera à la règle des signes.

[modifier] Limite d'un quotient

$begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|} hline displaystyle{lim_a f} & l & l & +inftytextrm{~ou~}-infty & 0& +inftytextrm{~ou~}-infty & lnot =0 hline displaystyle{lim_a g} & l'not =0 & +inftytextrm{~ou~}-infty & l'not =0 & 0& +inftytextrm{~ou~}-infty & 0 hline displaystyle{lim_a frac fg} & displaystyle{frac l{l'}} & 0 & color{Blue}{+inftytextrm{~ou~}-infty} & color{Red}{textrm{FI}} & color{Red}{textrm{FI}} & color{Blue}{+inftytextrm{~ou~}-infty} hline end{array}$

Pour déterminer le signe des limites en bleu, on se réfèrera à la règle des signes.

[modifier] Limite de la composée

Cette section nécessite des connaissances sur la composition des fonctions, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

Les lettres a, b et c désignent soit des nombres réels, soit $+infty$ soit $-infty$ .
Soit la fonction composée $g circ f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ , ou dont $a$ est une borne.

Si $lim_{x to a}f(x) = b$ et si $lim_{y to b}g(y) = c$ alors $lim_{x to a}(g circ f)(x) = c$

[modifier] Exemple de la racine carrée

$begin{array}{c|c|c|} hline displaystyle{lim_a f} & l>0 & +infty hline displaystyle{lim_a sqrt f} & sqrt l & +infty hline end{array}$

[modifier] Rédaction à tenir

Prenons l'exemple suivant :

Exemple

On recherche la limite de la fonction $xmapstosqrt{2+frac1x}$ en $+infty$ .

Méthode pour la limite d'une composée

Pour trouver la limite d'une composée, il faut procéder en plusieurs temps pour procéder proprement.

Tout d'abord, on isole les différentes fonctions en jeu dans la composition. Ici, il s'agit des fonctions $xmapsto 2+frac1x$ et de la fonction racine carrée :
On donne un nom au terme le plus « à l'intérieur » de la composition. Ici, il s'agit de $2+frac1x$ . Appelons-le X.

$begin{array}{ccccc} x&mapsto&displaystyle{2+frac1x}&& ~&~&X&mapsto&sqrt X=sqrt{2+frac1x} end{array}$

On commence par étudier la limite du terme le plus à l'intérieur.

$lim_{xto +infty} color{blue}2+frac1x color{black}= color{red}2$

Lorsqu'on fait tendre x vers $+infty$ , la grandeur $2+frac1x$ tend vers 2, c'est-à-dire que X tend vers 2.
On procède ensuite à la deuxième étape : on applique à X la deuxième fonction, ici la racine carrée. On cherche alors à savoir vers quoi tend $sqrt X$ lorsque X tend vers 2.

$lim_{color{blue}Xcolor{black}to color{red}2} X = sqrt 2$

La combinaison de ces deux étapes donne bien le résultat global :
- Le fait de prendre la limite quand X tend vers 2 ou quand x tend vers $+infty$ revient au même (cf première étape)
- Il suffit de remplacer X par son expression en x pour revenir à l'écriture de départ

$lim_{xto +infty} sqrt{2+frac1x} = sqrt 2$

Appliquons cette méthode dans le cas suivant :

Exemple

On recherche la limite de la fonction $xmapstosqrt{2+frac1x}$ en 0⁺.

$lim_{xto 0^+} color{blue}2+frac1x color{black}= color{red}+infty$
On pose $X=2+frac1x$
$lim_{color{blue}Xcolor{black}to color{red}+infty} sqrt X = +infty$

Donc $lim_{xto0^+} sqrt{2+frac1x}=+infty$

Limites d'une fonction : Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini
Limites d'une fonction/Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini

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**Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 7
Chap. préc. :	Théorèmes sur les limites
Chap. suiv. :	Droites asymptotes

Remarque : Les théorèmes qui suivent ne figurent pas au programme de toutes les classes de terminales, voir les fiches d'exercices pour résoudre le problème sans les théorèmes.

Sommaire

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[modifier] Cas des polynômes

Théorème

La limite d'un polynôme en $-infty$ et en $+infty$ est

celle de son terme de plus haut degré.

[modifier] Exemple

Voir les exercices sur : Limites de polynômes en l'infini.

Déterminer les limites aux infinis des fonctions suivantes :

$g:xmapsto - x^2 + x + 1,$
$h:xmapsto - 2x^3 + 4x - 1,$
$k:xmapsto frac{1}{2}x^3 - x + 1$
$l:xmapsto - frac{1}{3}x^7 + x^3 + x^2$

Solution

1. Le terme dominant de g est $- x 2$

$lim_{xto+infty}-x^2=-infty$ donc $lim_{xto+infty}g(x)=-infty$
$lim_{xto-infty}-x^2=-infty$ donc $lim_{xto-infty}g(x)=-infty$

2. Le terme dominant de h est $- 2 x 3$

$lim_{xto+infty}-2x^3=-infty$ donc $lim_{xto+infty}h(x)=-infty$
$lim_{xto-infty}-2x^3=+infty$ donc $lim_{xto-infty}h(x)=+infty$

3. Le terme dominant de k est $frac12 x^3$

$lim_{xto+infty}frac12 x^3=+infty$ donc $lim_{xto+infty}k(x)=+infty$
$lim_{xto-infty}frac12 x^3=-infty$ donc $lim_{xto-infty}k(x)=-infty$

4. Le terme dominant de l est $-frac13 x^7$

$lim_{xto+infty}-frac13 x^7=-infty$ donc $lim_{xto+infty}l(x)=-infty$
$lim_{xto-infty}-frac13 x^7=+infty$ donc $lim_{xto-infty}l(x)=+infty$

[modifier] Cas des fractions rationnelles

Définition

Une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) est un quotient de polynômes.

Théorème

La limite d'une fraction rationnelle (ou fonction rationnelle) en $-infty$ et en $+infty$ est

celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

[modifier] Exemple

Voir les exercices sur : Limites de fractions rationnelles.

Déterminer les limites quand x tend vers $+infty$ et quand x tend vers $-infty$ des fractions rationnelles suivantes en précisant la forme indéterminée rencontrée.

$f_1(x)=frac{-5x^3+2x^2-x+7}{3x^2+1}$
$f_2(x)=frac{x^4+2}{x^3+x}$
$f_3(x)=frac{-frac13x^2+5x-4}{x^5+1}$
$f_4(x)=frac{5x^2}{x^2+1}$

Solution

Question 1

Le terme dominant du numérateur de ƒ₁ est -5x³, donc $lim_{xto+infty}-5x^3+2x^2-x+7 =-infty$
Le terme dominant du dénominateur de ƒ₁ est 3x², donc $lim_{xto+infty} 3x^2+1=+infty$
En $+infty$ , on est donc face à la forme indéterminée $frac{-infty}{+infty}$
On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₁ : $frac{-5x^3}{3x^2}=-frac53x$
On a $lim_{xto+infty}-frac53x =-infty$ , donc $lim_{xto+infty} f_1(x) =-infty$
De même, on aboutit à $lim_{xto-infty} f_1(x) =-infty$

Question 2

Le terme dominant du numérateur de ƒ₂ est x⁴, donc $lim_{xto+infty} x^4+2=+infty$
Le terme dominant du dénominateur de ƒ₂ est x³, donc $lim_{xto+infty} x^3+x= +infty$
En $+infty$ , on est donc face à la forme indéterminée $frac{+infty}{+infty}$
On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₂ : $frac{x^4}{x^3}=x$
On a $lim_{xto+infty} x=+infty$ , donc $lim_{xto+infty} f_2(x) =+infty$
De même, on aboutit à $lim_{xto-infty} f_2(x) =-infty$

Question 3

Le terme dominant du numérateur de ƒ₃ est $-frac13x^2$ , donc $lim_{xto+infty} -frac13x^2+5x-4=-infty$
Le terme dominant du dénominateur de ƒ₃ est x⁵, donc $lim_{xto+infty}x^5+1 =+infty$
En $+infty$ , on est donc face à la forme indéterminée $frac{-infty}{+infty}$
On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₃ : $frac{-frac13x^2}{x^5}=-frac1{3x^3}$
On a $lim_{xto+infty} -frac1{3x^3}=0$ , donc $lim_{xto+infty} f_3(x) =0$
De même, on aboutit à $lim_{xto-infty} f_3(x) =0$

Question 4

Le terme dominant du numérateur de ƒ₄ est 5x², donc $lim_{xto+infty} 5x^2=+infty$
Le terme dominant du dénominateur de ƒ₄ est x², donc $lim_{xto+infty} x^2+1=+infty$
En $+infty$ , on est donc face à la forme indéterminée $frac{+infty}{+infty}$
On considère alors le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur de ƒ₄ : $frac{5x^2}{x^2}=5$
On a $lim_{xto+infty} 5=5$ , donc $lim_{xto+infty} f_4(x) =5$
De même, on aboutit à $lim_{xto-infty} f_4(x) =5$

Limites d'une fonction : Droites asymptotes
Limites d'une fonction/Droites asymptotes

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**Droites asymptotes**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 8
Chap. préc. :	Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini
Chap. suiv. :	Exemple corrigé

Sommaire

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[modifier] Définition qualitative

Définition

Soit ƒ une fonction dont la courbe représentative dans un repère est notée $mathcal C$ .

Une droite $mathcal D$ est dite asymptote à $mathcal C$ lorsque $mathcal C$ se rapproche infiniment de $mathcal D$ .

On peut classer les asymptotes en trois « catégories » :

Les asymptotes horizontales
Les asymptotes verticales
Les asymptotes obliques

[modifier] Asymptote horizontale

Prenons la fonction inverse. On sait que $lim_{xto +infty}frac1x=0$ .

Ceci montre que la courbe de la fonction inverse de rapproche de plus en plus de l'axe des abscisses, qui est la droite d'équation $y=0,$ .

On dit alors que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en +∞.

De même, on a $lim_{xto -infty}frac1x=0$ , donc l'axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse en -∞.

Définition

Soit ƒ une fonction dont la courbe représentative dans un repère est notée $mathcal C$ .

$mathcal C$ admet une asymptote horizontale d'équation y = L

en +∞ ssi $lim_{xto +infty}f(x)=L$
en -∞ ssi $lim_{xto -infty}f(x)=L$

[modifier] Asymptote verticale

Prenons à présent la fonction $xmapsto frac1{x-x_1}$ , dont la courbe $mathcal C$ est représentée ci-contre.

On a $lim_{xto x_1^+}frac1{x-x_1}=+infty$ et $lim_{xto x_1^-}frac1{x-x_1}=-infty$ .

On voit alors bien que $mathcal C$ se rapproche de plus en plus de la droite verticale tracée en bleu lorsque x tend vers x₁. La droite en bleu a pour équation $x=x_1,$

On dit que $mathcal C$ a pour asymptote verticale la droite d'équation $x=x_1,$ en x₁.

Définition

Soit ƒ une fonction dont la courbe représentative dans un repère est notée $mathcal C$ .

$mathcal C$ admet une asymptote verticale d'équation x = a ssi la limite de ƒ en a est infinie.

[modifier] Asymptote oblique

[modifier] Exemple 1

Exemple

Soit ƒ la fonction définie sur $[0;+infty[$ par :

$f:xmapsto frac{x^2+3}{x + 1}$

Déterminer le comportement de ƒ en $+infty$
On note $E:xmapsto f(x)-(x-1),$ . Pour tout $xinR^+$ , donner l'expression de E(x).
Déterminer la limite de E(x) quand x tend vers plus l’infini.
Sur la calculatrice, tracer la courbe de ƒ et la droite d’équation y = x - 1. Que remarque-t-on ?

1. Déterminer le comportement de ƒ en $+infty$

On factorise les termes de plus haut degré et on simplifie :

Pour tout $xin[0;+infty[,~f(x)=...,$

Or $lim_{x to +infty}cdots=cdots$ et $lim_{x to +infty}cdots=cdots$

Donc $lim_{x to +infty}f(x)=...$

2. On note $E:xmapsto f(x)-(x-1)$ . Pour tout $xinR^+$ , donner l'expression de E(x).

Soit $xinR^+$

$E(x)=cdots$

3. Déterminer la limite de E(x) quand x tend vers plus l’infini.

$lim_{x to +infty}cdots=cdots$

Donc $lim_{x to +infty} E(x)=cdots$

4. Sur la calculatrice, tracer la courbe de ƒ et la droite d’équation y = x - 1. Que remarque-t-on ?

Solution

1. Déterminer le comportement de ƒ en $+infty$

On factorise les termes de plus haut degré et on simplifie :

Pour tout $xin[0;+infty[,~f(x)=frac{x^2+3}{x + 1}=frac{x^2left(1+frac3{x^2}right)}{xleft(1+frac1xright)}=xcdotfrac{1+frac3{x^2}}{1+frac1x}$

Or $lim_{xto +infty}1+frac3{x^2}=1$ et $lim_{xto+infty}1+frac1x=1$

Donc $lim_{xto +infty}f(x)=+infty$

2. On note $E:xmapsto f(x)-(x-1)$ . Pour tout $xinR^+$ , donner l'expression de E(x).

Soit $xinR^+$

$begin{align} E(x)&=frac{x^2+3}{x+1}-(x-1) &=frac{x^2+3}{x+1}-frac{(x+1)(x-1)}{x+1} &=frac{x^2+3-(x^2-1)}{x+1} &=frac4{x+1} end{align}$

Pour tout $xinR^+,~E(x)=frac4{x+1}$

3. Déterminer la limite de E(x) quand x tend vers plus l’infini.

$lim_{x to +infty}x+1=+infty$

Donc $lim_{x to +infty} E(x)=0$

4. Sur la calculatrice, tracer la courbe de ƒ et la droite d’équation y = x - 1. Que remarque-t-on ?

On remarque que l'écart entre la courbe de ƒ et la droite d'équation y = x - 1 se réduit quand x augmente. La courbe de ƒ semble ainsi se rapprocher de la droite sans jamais l'atteindre.

[modifier] Théorème général sur les asymptotes obliques

Théorème

On pose pour tout $x,~E(x)= f(x)-(a.x+b),$

Si $lim_{x to +infty}E(x)= 0,$ , alors la droite d’équation $y = a.x + b,$ est asymptote à la courbe de ƒ.

Si de plus $a neq 0$ , la droite d’équation $y = ax + b,$ n’est pas horizontale et on parle d’asymptote oblique.

Dans l'exemple précédent, $E(x)=...,$ et l'asymptote est ...

Définition

La quantité $E(x) = f(x)-(a.x + b),$ est appelée écart vertical algébrique entre la courbe et la droite.

Dans l'exemple précédent, $E(x)=...,$ .

Propriété

Si $E(x) > 0,$ : la courbe est au-dessus de son asymptote.

Si $E(x) < 0,$ : la courbe est en dessous de son asymptote.

Dans l'exemple précédent :

$begin{array}{c|ccc|} x&0&&+infty hline textrm{Signe~de}~E(x)&&& hline textrm{Position}&&& hline end{array}$

Cas de l'exemple 1

Notons $mathcal C$ la courbe de ƒ et $mathcal D$ la droite d'équation y = x - 1

Pour tout $xinR^+,~E(x)=frac4{x+1}$

$begin{array}{c|ccccccc|} x&0&&+infty hline textrm{Signe~de}~E(x)&&+& hline textrm{Position}&&mathcal Ctextrm{~au-dessus~de~}mathcal D& hline end{array}$

[modifier] Exemple 2

Exemple

Soit g la fonction définie sur $I=[3 ;+infty[$ par :

pour tout $xin I,~g(x)=frac{-2x^2+5x-3}{x-2}$

Déterminer le comportement de g en +∞
Trouver a et b tels que pour tout $xin I,~g(x)=ax+b-frac1{x-2}$
On pose pour tout $xin I,~E(x)=g(x)-(ax+b)$ . Étudier le signe de E(x) et sa limite quand x tend vers plus l’infini.

1. Déterminer le comportement de g en +∞

On factorise par les termes de plus haut degré et on simplifie :

Pour tout $xin I,~g(x)=cdots$

Or, $lim_{x to +infty}cdots=cdots$ et $lim_{x to +infty}cdots=cdots$

Donc $lim_{x to +infty} f(x)=cdots$

2. Trouver a et b tels que pour tout $xin I,~g(x)=ax+b-frac1{x-2}$: $begin{cases} a=cdots b=cdots end{cases}$

3. On pose pour tout $xin I,~E(x)=g(x)-(ax+b)$ . Étudier le signe de E(x) et sa limite quand x tend vers plus l’infini.

Pour tout $xin I,~E(x)=cdots$

Or $lim_{x to +infty}cdots=cdots$

Donc $lim_{x to +infty} E(x)=cdots$

On a les positions relatives :

$begin{array}{c|ccc|} x&0&&+infty hline textrm{Signe~de}~E(x)&&& hline textrm{Position}&&& hline end{array}$

Solution de l'exemple 2

1. Déterminer le comportement de g en +∞

On factorise par les termes de plus haut degré et on simplifie :

Pour tout $xin I,~g(x)=frac{-2x^2+5x-3}{x-2}=frac{x^2left(-2+frac5x-frac3{x^2}right)}{xleft(1-frac2xright)}=xcdotfrac{-2+frac5x-frac3{x^2}}{1-frac2x}$

Or, $lim_{x to +infty}-2+frac5x-frac3{x^2}=-2$ et $lim_{x to +infty}1-frac2x=1$

Donc $lim_{x to +infty} f(x)=-infty$

2. Trouver a et b tels que pour tout $xin I,~g(x)=ax+b-frac1{x-2}$

Soit $xin I$

$begin{align} ax+b-frac1{x-2}&=frac{(ax+b)(x-2)}{x-2}-frac1{x-2} &=frac{ax^2-2ax+bx-2b}{x-2}-frac1{x-2} &=frac{ax^2+(b-2a)x-2b-1}{x-2} end{align}$

On veut que, pour tout $xin I,frac{-2x^2+5x-3}{x-2}=frac{ax^2+(b-2a)x-2b-1}{x-2}$ , c'est-à-dire pour tout $xin I,-2x^2+5x-3=ax^2+(b-2a)x-2b-1$

Deux fonctions polynomiales sont identiques en tout point si et seulement si leurs coefficients de même degré sont égaux. On aboutit alors au système suivant :

$begin{cases} -2=a 5=b-2a -3=-2b-1 end{cases}$

Finalement

$begin{cases} a=-2 b=1 end{cases}$

3. On pose pour tout $xin I,~E(x)=g(x)-(ax+b)$ . Étudier le signe de E(x) et sa limite quand x tend vers plus l’infini.

Pour tout $xin I,~E(x)=-frac1{x-2}$

Or $lim_{x to +infty}x-2=+infty$

Donc $lim_{x to +infty} E(x)=0$

On en déduit que la droite $mathcal D:y=-2x+1$ est asymptote à la courbe $mathcal C_g$ de la fonction g.

L'étude du signe de E donne les positions relatives de $mathcal C_g$ et $mathcal D$ :

$begin{array}{c|cccc|} x&3&&&+infty hline textrm{Signe~de}~E(x)&&-&& hline textrm{Position}&&mathcal C_gtextrm{~en-dessous~de~}mathcal D&& hline end{array}$

Limites d'une fonction : Exemple corrigé
Limites d'une fonction/Exemple corrigé

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**Exemple corrigé**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 9
Chap. préc. :	Droites asymptotes
Chap. suiv. :	Définitions quantifiées de la notion de limite

Exemple

Soit $f:x mapsto frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}$ .

Déterminer l'ensemble de définition de f.
Quelles sont les limites de f aux bords de son domaine de définition ?

Sommaire

[masquer]

[modifier] Question 1 : Domaine de définition de f

Soit $xinR$

$-3x^2+5x+2=0 Leftrightarrow x=-frac13 mbox{ ou } x=2$

Le domaine de définition de f est $mathcal{D}_f= mathbb{R}- left{-frac 13;2 right}$

[modifier] Question 2 : Étude des limites de f aux bords de son domaine de définition

Nous allons étudier la limite de f aux infinis, en $-frac{1}{3}$ et en 2.

[modifier] Étude en +∞ et en -∞

Soit $xinmathcal{D}_f$ On met en facteur les termes de plus haut degré : $frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=frac{x^2left(1-frac3x+frac2{x^2}right)}{x^2left(-3+frac5x+frac2{x^2}right)}=frac{1-frac3x+frac2{x^2}}{-3+frac5x+frac2{x^2}}$

$lim_{x to +infty}-frac3x=0$

$lim_{x to +infty}frac2{x^2}=0$

Donc $lim_{x to +infty}1-frac3x+frac2{x^2}=1-0+0=1$

$lim_{x to +infty}frac5x=0$

$lim_{x to +infty}frac2{x^2}=0$

Donc $lim_{x to +infty}-3+frac5x+frac2{x^2}=-3+0+0=-3$

Donc $lim_{x to +infty}frac{1-frac3x+frac2{x^2}}{-3+frac5x+frac2{x^2}}=-frac13$ , c'est-à-dire

$lim_{x to +infty}frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=-frac13$

De même, $lim_{x to -infty}1-frac3x+frac2{x^2}=1$ et $lim_{x to -infty}-3+frac5x+frac2{x^2}=-3$

Donc $lim_{x to -infty}frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=-frac13$

[modifier] Étude en 1/3

On pose les deux fonctions suivantes sur $mathcal D_f$ :

$N:xmapsto x^2-3x+2$
$D:xmapsto -3x^2+5x+2$

On a ainsi pour tout $xinmathcal D_f,~f(x)=frac{N(x)}{D(x)}$

$lim_{x to -frac{1}{3}} N(x)=N left( -frac{1}{3} right)= frac{28}9$
$lim_{x to -frac{1}{3}} D(x)=D left( -frac{1}{3} right)=0$

On a devant nous une limite de la forme $frac{lnot=0}0$ . Il faut donc connaître le signe de f pour savoir si la limite vaut +∞ ou -∞, c'est-à-dire connaître les signes de N et D aux alentours de $frac13$ .

$N left( -frac{1}{3} right)= frac{28}{9}$ donc N est positive au voisinage de $x=-frac13$
La fonction D est une fonction polynomiale du second degré. Son tableau de signes est le suivant :

$begin{array}{c|ccccccc|} x&-infty&&-frac13&&2&&+infty hline textrm{Signe~de}~D(x)&&-&0&+&0&-& hline end{array}$

Nous pouvons à présent dire que :

pour $x<-frac{1}{3}$

$D(x)<0,$ et $N left( -frac{1}{3} right)= frac{28}{9}>0$

Ainsi $lim_{x to -frac{1}{3}^-} f(x) = -infty$

pour $x in left]-frac{1}{3};2 right[$

$D(x)>0,$ et $N left( -frac{1}{3} right)= frac{28}{9}>0$

Ainsi, $lim_{x to -frac{1}{3}^+} f(x) = {+infty}$

[modifier] Étude en 2

$lim_{x to 2} N(x)=N(2)=0$
$lim_{x to 2} D(x)=D(2)=0$

Nous sommes a priori en présence d'une forme indéterminée de type « $frac00$ ».

Il y a cependant un moyen simple de remédier à ce problème. Comme $N(2)=0,$ et $D(2)=0,$ et que N et D sont des fonctions polynomiales, il est possible de les factoriser toutes deux par x-2.

Pour trouver la factorisation, il y a plusieurs manières de faire.

Utilisation des relations coefficients-racines (voir le cours sur les équations du second degré)

On sait qu'une racine de N est 2 et que le produit des racines vaut $frac ca=2$ .

On en déduit que pour tout $xinmathcal D_f,N(x)=(x-1)(x-2)$

Poser α la racine de N que l'on ne connaît pas et déduire α par identification de $x^2-3x+2,$ et de $(x-2)(x-alpha)=x^2-(alpha+2)x+2alpha,$
Trouver les racines par calcul du discriminant etc, ici DÉCONSEILLÉ par induit beaucoup de calcul pour retomber un résultat que l'on connaît déjà à moitié. Dans ce cas c'est une perte de temps.

La question 1 nous apprend directement que pour tout $xinmathcal D_f,~D(x)=-3(x-2)left(x+frac13right)$

Finalement, soit $xinmathcal D_f$

$begin{align} f(x)&=frac{N(x)}{D(x)} &=frac{(x-1)(x-2)}{-3(x-2)left(x+frac13right)} &=frac{x-1}{-3x-1} end{align}$

On a fait disparaître la forme indéterminée. Il ne reste plus qu'à écrire la limite :

$lim_{x to 2} f(x)=frac{2-1}{-3times2-1}$

Finalement : $lim_{x to 2} f(x)=-frac17$

Limites d'une fonction : Définitions quantifiées de la notion de limite
Limites d'une fonction/Définitions quantifiées de la notion de limite

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**Définitions quantifiées de la notion de limite**
Leçon : Limites d'une fonction

Chapitre 10
Chap. préc. :	Exemple corrigé
Chap. suiv. :	Courbes asymptotes

Remarque : Pour une compréhension intuitive de la notion de limite, voyez les premiers chapitres du cours Limites d'une fonction.

Soit $f,$ une fonction définie sur un domaine $mathcal D$ à valeurs dans $R$ .

Sommaire

[masquer]

[modifier] Définitions formalisées

[modifier] Limite finie en un point

Définition

$f,$ a pour limite $l,$ en $a in R,$ si, et seulement si :

$forall varepsilon > 0,existsdelta_{varepsilon} >0,forall xin]a-delta_{varepsilon},a+delta_{varepsilon}[capmathcal D,~|f(x)-l|leqvarepsilon$

En français, on pourrait dire que $f,$ a pour limite $l,$ en $a,$ si, et seulement si, pour un intervalle $I,$ choisi autour de $l,$ aussi petit que l'on veut, il existe un intervalle de valeurs de $x,$ autour de $a,$ pour lequel tous les $f(x),$ appartiennent à $I,$ .

On note alors $lim_{xto a}f(x)=l$ ou, de manière plus condensée, $lim_af=l$

[modifier] Limite infinie en un point

Définition

$f,$ a pour limite $+infty,$ en $a in R,$ si, et seulement si :

$forall M > 0,existsdelta_{M} >0,forall xin]a-delta_{M},a+delta_{M}[capmathcal D,~f(x)geq M$

$f,$ a pour limite $-infty,$ en $a in R,$ si, et seulement si :

$forall M < 0,existsdelta_{M} >0,forall xin]a-delta_{M},a+delta_{M}[capmathcal D,~f(x)leq M$

En français, cela revient à dire que, aussi grand (ou petit) qu'on prenne un réel $M,$ , en se rapprochant suffisamment de $a,$ , on finit par dépasser la valeur de $M,$ . $f,$ prend ainsi des valeurs infiniment grandes (ou petites) au voisinage de $a,$ .

On note :

$lim_{xto a}f(x)=+infty$ ou $lim_{a}f=+infty$ si $f,$ a pour limite $+infty,$ en $a,$
$lim_{xto a}f(x)=-infty$ ou $lim_{a}f=-infty$ si $f,$ a pour limite $-infty,$ en $a,$

[modifier] Limite finie en l'infini

Définition

$f,$ a pour limite $l,$ en $+infty,$ si, et seulement si :

$forallvarepsilon>0,exists A>0,forall x in mathcal D, x >A Longrightarrow |f(x)-l|leqvarepsilon$

En français, tout intervalle ouvert contenant $l,$ contient aussi toutes les valeurs $f(x),$ pour $x,$ assez grand.

On note $lim_{xto+infty}f(x)=l$ ou $lim_{+infty}f=l$

Définition

$f,$ a pour limite $l,$ en $-infty,$ si, et seulement si :

$forallvarepsilon<0,exists A<0,forall x in mathcal D, x <A Longrightarrow |f(x)-l|leqvarepsilon$

En français, tout intervalle ouvert contenant $l,$ contient aussi toutes les valeurs de $f(x),$ pour $x,$ assez petit.

On note $lim_{xto-infty}f(x)=l$ ou $lim_{-infty}f=l$

[modifier] Limite infinie en l'infini

Définition

$f,$ a pour limite $+infty,$ en $-infty,$ si, et seulement si :

$forall M>0,exists A<0,forall x in mathcal D, x <A Longrightarrow f(x)geq M$

$f,$ a pour limite $+infty,$ en $+infty,$ si, et seulement si :

$forall M>0,exists A>0,forall x in mathcal D, x >A Longrightarrow f(x)geq M$

En français, cela revient à dire que tout intervalle $]M ; +infty[$ avec $M > 0$ contient toutes les valeurs de $f(x),$ :

pour $x,$ suffisamment grand si $f,$ a pour limite $+infty,$ en $+infty,$ . On note alors $lim_{xto+infty}f(x)=+infty$ ou $lim_{+infty}f=+infty$
pour $x,$ suffisamment petit si $f,$ a pour limite $+infty,$ en $-infty,$ . On note alors $lim_{xto-infty}f(x)=+infty$ ou $lim_{-infty}f=+infty$

Définition

$f,$ a pour limite $-infty,$ en $-infty,$ si, et seulement si :

$forall M<0,exists A<0,forall x in mathcal D, x <A Longrightarrow f(x)leq M$

$f,$ a pour limite $-infty,$ en $+infty,$ si, et seulement si :

$forall M<0,exists A>0,forall x in mathcal D, x >A Longrightarrow f(x)leq M$

En français, cela revient à dire que tout intervalle $]-infty;M[$ avec $M < 0$ contient toutes les valeurs de $f(x),$

pour $x,$ suffisamment grand si $f,$ a pour limite $-infty,$ en $+infty,$ . On note alors $lim_{xto+infty}f(x)=-infty$ ou $lim_{+infty}f=-infty$
pour $x,$ suffisamment petit si $f,$ a pour limite $-infty,$ en $-infty,$ . On note alors $lim_{xto-infty}f(x)=-infty$ ou $lim_{-infty}f=-infty$

[modifier] Limite « unilatérale » en un point

Définition

$f,$ a pour limite à gauche $l,$ en $a in R,$ si, et seulement si :

$forall varepsilon > 0,existsdelta_{varepsilon} >0,forall xin]a-delta_{varepsilon};a]capmathcal D,~|f(x)-l|leqvarepsilon$

On procède de même pour définir la limite à droite en remplaçant $]a-delta_{varepsilon};a],$ par $[a;a+delta_{varepsilon}[,$ .

On note

$lim_{underset{xleq x_1}{xto x_1}}f(x)=y_1$ ou $lim_{xto x_1^-}f(x)=y_1$ pour la première définition
$lim_{underset{xgeq x_1}{xto x_1}}f(x)=y_2$ ou $lim_{xto x_1^+}f(x)=y_2$ pour la deuxième définition

[modifier] Limite « épointée » en un point

Définition

$f,$ a pour limite épointée $l,$ en $a,$ si, et seulement si :

$forall epsilon >0 ,existsdelta_{varepsilon} >0,forall xin(]a-delta_{varepsilon};a,a[cup]a,a+delta_{varepsilon}[)capmathcal D,~|f(x)-l|leqvarepsilon$

On note $lim_{underset{xnot=a}{xto a}}f(x)=l$

[modifier] Limite « unilatérale épointée » en un point

Définition

$f,$ a pour limite épointée à gauche y₁ en x₁ ssi $forall epsiloninR^{+*},existsetainR^{+*},forall xin]x_1-eta,x_1[capmathcal D,~|f(x)-y_1|leqepsilon$
$f,$ a pour limite épointée à droite y₂ en x₁ ssi $forall epsiloninR^{+*},existsetainR^{+*},forall xin]x_1,x_1+eta[capmathcal D,~|f(x)-y_2|leqepsilon$

On note

$lim_{underset{x<x_1}{xto x_1}}f(x)=y_1$ pour la première définition
$lim_{underset{x>x_1}{xto x_1}}f(x)=y_2$ pour la deuxième définition

Définition

$f,$ a pour limite à droite -∞ en x₁ ssi $forall MinR^-,existsetainR^{+*},forall xin]x_1,x_1+eta[capmathcal D,~f(x)leq M$
$f,$ a pour limite à gauche +∞ en x₁ ssi $forall MinR^+,existsetainR^{+*},forall xin]x_1-eta,x_1[capmathcal D,~f(x)geq M$

On note

$lim_{underset{x<x_1}{xto x_1}}f(x)=+infty$ ou $lim_{xto x_1^-}f(x)=+infty$ pour la première définition
$lim_{underset{x>x_1}{xto x_1}}f(x)=-infty$ ou $lim_{xto x_1^+}f(x)=-infty$ pour la deuxième définition

Définition

$f,$ a pour limite à droite +∞ en x₁ ssi $forall MinR^+,existsetainR^{+*},forall xin]x_1,x_1+eta[capmathcal D,~f(x)geq M$
$f,$ a pour limite à gauche -∞ en x₁ ssi $forall MinR^-,existsetainR^{+*},forall xin]x_1-eta,x_1[capmathcal D,~f(x)leq M$

On note

$lim_{underset{x<x_1}{xto x_1}}f(x)=-infty$ ou $lim_{xto x_1^-}f(x)=-infty$ pour la première définition
$lim_{underset{x>x_1}{xto x_1}}f(x)=+infty$ ou $lim_{xto x_1^+}f(x)=+infty$ pour la deuxième définition

[modifier] Théorèmes sur les limites

[modifier] Premières propriétés

Propriété : Unicité de la limite

Si $lim_{x to a}f(x) = l in R,$ , alors cette limite est unique.

Démonstration

On va maintenant voir comment caractériser une limite de fonction à partir de limite de suite. On ne donne ici la propriété que pour une limite finie en un point, mais elle est transposable aux autres cas :

Propriété : Caractérisation séquentielle d'une limite

Soient $f,$ une fonction définie sur un intervalle $I,$ , $a in I,$ et $l in R,$ .
$f,$ a pour limite $l,$ en $a,$ , si et seulement si :

Pour toute suite $(x_n),$ qui converge vers $a,$ , la suite $f(x_n),$ converge vers $l,$ .

Démonstration

[modifier] Limites et opérations

Propriété

Soient $f,$ et $g,$ deux fonctions définies sur un intervalle $I,$ à valeurs dans $R,$ , et $a in I,$ .
Si $lim_{x to a} f(x) = l in R ,$ et $lim_{x to a}g(x) = l' in R,$ , alors :

$lim_{x to a} (f+g)(x) = l + l',$ ;
$lim_{x to a} (fg)(x) = ll',$ ;
si $g(x)ne 0 forall x in I,$ et $l' ne 0,$ , alors $lim_{x to a} left(frac{f}{g}right)(x) = frac{l}{l'},$ et en particulier $lim_{x to a} left(frac{1}{g}right)(x) = frac{1}{l'},$ .

Démonstration

Ces propriétés sont aussi valables pour les limites à droite et à gauche, pour le cas p = ±∞, et aussi pour les limites infinies en utilisant les règles suivantes :

q + ∞ = ∞ pour q ≠ -∞
q × ∞ = ∞ si q > 0
q × ∞ = -∞ si q < 0
q / ∞ = 0 si q ≠ ± ∞.

Remarquons qu'il n'y a pas de règle générale pour le cas q / 0 : cela dépend de la façon dont on s'approche de 0. Certains cas, comme par exemple 0/0, 0×∞ ∞-∞ ou ∞/∞, ne sont pas non plus couverts par ces règles.

[modifier] Formes indéterminées

Il existe certaines formes de limite où il est n'est pas possible de conclure directement en utilisant des opérations sur les limites, ce sont les formes indéterminées (FI) :

Indétermination de la forme 0/0 quand le résultat obtenu donne 0/0
Indétermination de la forme ∞/∞ quand le résultat obtenu donne ∞/∞
Indétermination de la forme ∞ - ∞ quand le résultat obtenu donne ∞ - ∞
Indétermination de la forme 0 × ∞ qui se ramène aux deux premiers cas en remarquant qu'une multiplication par 0 équivaut à une division par l'infini, ou qu'une multiplication par l'infini équivaut à une division par 0.

Règles opératoires pour lever l'indétermination :
Voici quelques régles opératoires pour lever les FI :

Fonctions polynomiales et rationnelles :

On a la règle "des monômes de plus haut degré" qui n'est valable qu'en l'infini:

Règle

La limite en l'infini d'une fonction polynomiale est égale à celle de son monôme (ou terme) de plus haut degré.
La limite en l'infini d'une fonction rationnelle est égale à celle du quotient de ses monômes de plus hauts degrés.

(démonstration à faire) Exemples :
1/ Soit $f : x mapsto x^2-2x^3+x-5,$ .Le monôme de plus haut degré est $-2x^3,$ .
Alors $lim_{x to +infty}f(x) = lim_{x to +infty}-2x^3 = -infty,$
et de même : $lim_{x to -infty}f(x) = lim_{x to -infty}-2x^3 = +infty,$ .

2/ Soit $g : x mapsto frac{x^2-2x^3+x-5}{x^3-x+7},$ .Les monômes de plus hauts degrés sont $-2x^3,$ et $x^3,$ .
Alors $lim_{x to pminfty}g(x) = lim_{x to pminfty}frac{-2x^3}{x^3} = -2,$ .

Factorisation par le terme "le plus fort en l'infini" :
(à faire)

Régle de L'Hospital :

Du nom du Marquis de L'Hospital, mathématicien français du XVIIème siècle, cette règle permet de simplifier les FI 0/0 ou ∞/∞ : voir Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité).

[modifier] Limite d'une fonction composée

Propriété

Soient $f,$ et $g,$ deux fonctions définies sur un intervalle $I,$ à valeurs dans $R,$ , et $a in I,$ .
Si $lim_{x to a} f(x) = b in R ,$ et $lim_{x to b}g(x) = c in R,$ , alors $lim_{x to a} (fcirc g)(x) = c,$ .

Démonstration

Exemple :Calculer $lim_{xto +infty} left(1+frac{1}{x}right)^x,$ .
On remarque que $forall x > 0,$ :
$left(1+frac{1}{x}right)^x = e^{x ln(1+frac{1}{x})} = e^left(frac{ln(1+frac{1}{x})}{frac{1}{x}}right) = (fcirc g)(x),$ où $f(x) = e^x,$ et $g(x) = frac{ln(1+frac{1}{x})}{frac{1}{x}},$ .
Or :

$g(x) = (f_1circ g_1)(x);mathrm{avec}; f_1(x) = frac{ln(1+x)}{x} ;mathrm{et}; g_1(x) = frac{1}{x},$ ;
$lim_{xto +infty} g_1(x) = 0, ;mathrm{et;} lim_{xto 0} f_1(x) = 1 Rightarrow lim_{xto +infty} g(x) = 1,$ (première application de la propriété) ;
$lim_{xto 1} f(x) = mathrm{e},$

donc en appliquant une deuxième fois la propriété :

$lim_{xto +infty} left(1+frac{1}{x}right)^x = mathrm{e},$

[modifier] Limites et relation d'ordre

Les trois énoncés qui suivent sont valables mutatis mutandis pour $a = pm infty,$ .

La propriété qui suit permet de "passer à la limite" dans une inégalité.

Propriété

Soient $f,$ et $g,$ deux fonctions définies "au voisinage de $a in mathbb{R},$ ".
Si $lim_{xto a}f(x) = l in R,$ et $lim_{xto a}g(x) = l' in R,$ , alors :

$l le l' iff exist eta > 0 | forall x in ]a-eta ; a+eta[ , f(x) le g(x),$

Attention ! Cette propriété n'est plus vraie si on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes.
Contre-exemple : Il suffit de remarquer que $f : x mapsto frac{1}{x},$ est à valeurs strictement positives sur $]0;+infty[,$ , mais que $lim_{x to +infty} f(x) = 0 not > 0,$ .