Nombre complexe : Introduction de i
Nombre complexe/Introduction de i

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**Introduction de i**
Leçon : Nombre complexe

Chapitre 1
Retour au	Utilité des nombres complexes
Chap. suiv. :	Opérations sous forme algébrique

Sommaire

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[modifier] Le nombre i

Définition

On définit le nombre $i,$ tel que $i^2=-1,$ .

Le symbole $i,$ signifie « imaginaire ». En effet, comme le carré d'un nombre réel est toujours positif, ce nombre ne peut pas être un nombre réel ;
par convention, i n'est jamais écrit sous la racine carrée ;
très souvent, il est placé au numérateur d'une fraction ;
la place de i n'est pas obligatoirement devant ou derrière l'expression, mais nous plaçons i devant le radical comme nous le faisons pour des inconnues quelconques ;
le plus souvent (uniquement parce que la prononciation est plus simple ainsi), nous plaçons i après les nombres mais avant les inconnues.

[modifier] Forme algébrique d'un nombre complexe

Définition

Les nombres qui s'écrivent $z=a+ib,$ (avec a et b réels) forment l'ensemble $Complex$ des nombres complexes.

Cette écriture des nombres complexes est nommée algébrique (ou parfois cartésienne).

[modifier] La partie réelle et la partie imaginaire

Définition

Pour $z=a+ib,$

a est la partie réelle de z.
b est la partie imaginaire de z.

Propriété

On utilise aussi la notation suivante pour représenter les 2 parties d'un nombre complexe :

$Re(z)$ voulant dire la partie réelle de z et $Im(z)$ voulant dire la partie imaginaire de z, ce qui nous donne :

$Re(z)=a$
$Im(z)=b$

Exemple : $z = - 1 + 2 i$

La partie réelle de z est -1 et la partie imaginaire de z est 2.
L'expression traditionnelle partie imaginaire peut induire en erreur : il faut remarquer que b est réel !

[modifier] Les nombres réels et les imaginaires purs

Définition

Pour $z=x+iy,$ ,

si $x=0,$ alors $z,$ est un imaginaire pur

si $y=0,$ alors $z,$ est un réel.

Exemple

$z=3i,$ est un imaginaire pur
$z=4,$ est un réel

[modifier] Note

Là où nous utilisions plus volontiers la lettre $x,$ pour désigner des réels, nous utilisons plutôt la notation $z,$ pour les nombres complexes.

Nombre complexe : Représentation géométrique
Nombre complexe/Représentation géométrique

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**Représentation géométrique**
Leçon : Nombre complexe

Chapitre 4
Chap. préc. :	Opérations sous forme algébrique
Chap. suiv. :	Conjugué d'un nombre complexe

Pour comprendre les nombres complexes, il faut pouvoir les visualiser dans un espace que nous connaissons au préalable. Le problème est que ces nombres complexes n'ont pas de représentation physique, nous ne pouvons par exemple les ordonner sur une règle, chose facile à faire pour les nombres réels.

Néanmoins, le plan complexe (appelé aussi plan d'Argand ou plan d'Argand-Cauchy) permet de résoudre ce problème.

Sommaire

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[modifier] Affixe d'un point du plan

Définition

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on associe au point M de coordonnées (a;b)

son affixe, le nombre complexe z=a+ib. M est appelé image de $z,$

On a ainsi une correspondance entre les nombres complexes et les points du plan, qui permet de représenter géométriquement les nombres complexes.

Dans le graphique ci-dessous, on assimile les nombres complexes à leurs images :

l'image M(4;4) et son affixe le nombre complexe z = 4 + 4i

Plus généralement :
- La partie réelle du nombre complexe est l'abscisse de son image
- Sa partie imaginaire est l'ordonnée de son image

Graphiquement, on obtient :

[modifier] Affixe d'un vecteur

Définition

Au vecteur $textstyle{vec{u}}$ de coordonnées $begin{array}{|l}xyend{array}$ , on associe son affixe $z=x+iy,$

[modifier] Propriétés de l'affixe

[modifier] Affixe d'un vecteur

Propriété

L'affixe d'un vecteur $overrightarrow{AB}$ est : $z_{overrightarrow{scriptstyle AB}}=z_B-z_A$ .

Exemple

Dans la figure ci-contre, on a les points $A (1;1)$ et $B (4;3)$ .

L'affixe d'un vecteur $overrightarrow{AB}$ est :

$z_{overrightarrow{scriptstyle AB}}=z_B-z_A=(4+3i)-(1+i)=3+2i$

En effet les coordonnées de $overrightarrow{AB}$ sont:

$begin{array}{|l}x_B-x_Ay_B-y_Aend{array}=begin{array}{|l}4-13-1end{array}=begin{array}{|l}32end{array}$

[modifier] Affixe d'un milieu

Propriété

L'affixe du milieu $I,$ d'un segment $[AB],$ est $z_I=z_{overrightarrow{scriptstyle OI}}=frac{z_B+ z_A}2$ .

Exemple

Toujours dans la figure ci-contre dont les points A et B ont pour coordonnées: $A (1;1)$ et $B (4;3)$ .

$overrightarrow{OI}$ , l'affixe du milieu du vecteur $overrightarrow{AB}$ est :

$z_{overrightarrow{scriptstyle OI}}=frac{z_B+z_A}{2}=frac{(4+3i)+(1+i)}{2}=frac{5+4i}{2}=frac{5}{2}+2i$

Les coordonnées de $overrightarrow{OI}$ sont:

$begin{array}{|l}displaystyle{frac{x_B+x_A}{2}}displaystyle{frac{y_B+y_A}{2}}end{array}=begin{array}{|l}displaystyle{frac{4+1}{2}}displaystyle{frac{3+1}{2}}end{array}=begin{array}{|l}displaystyle{frac{5}{2}}2end{array}$

[modifier] Parallélisme et alignement

Propriété

Deux droites $(AB),$ et $(CD),$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement s'il existe un nombre réel $kinRbackslash{0}$ tel que $overrightarrow{AB}=kcdotoverrightarrow{CD}$ , c'est-à-dire qu'il existe un $k=frac{z_B-z_A}{z_D-z_C}$ avec $Im(k)=0,$ .

[modifier] Exemple

Un exemple est le bienvenu.

Nombre complexe : Opérations sous forme algébrique
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**Opérations sous forme algébrique**
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Chapitre 2
Chap. préc. :	Introduction de i
Chap. suiv. :	Représentation géométrique

Les nombres complexes respectent les règles valables pour les quatre opérations sur les nombres réels (addition, soustraction, multiplication et division).

Sommaire

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[modifier] Égalité de deux nombres complexes

Propriété

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

Ceci signifie, pour deux nombres complexes $z_1=x_1+iy_1,$ et $z_2=x_2+iy_2,$ ,

$z_1=z_2,$ si et seulement si $begin{cases}x_1=x_2y_1=y_2end{cases}$

[modifier] Addition

Propriété

Pour additionner deux nombres complexes sous forme algébrique, on additionne :

leurs parties réelles entre elles
leurs parties imaginaires entre elles

Pour $z_1=x_1+iy_1,$ et $z_2=x_2+iy_2,$ , on a $z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2),$

[modifier] Exemples

Voir les exercices sur : Addition sous forme algébrique.

Addition de deux nombres complexes

Soient $z_1=-2+5i,$ et $z_2=1-3i,$ .

On a :

$begin{align} z_1+z_2&=(-2+5i)+(1-3i) &=(-2+1)+i(5-3) &=-1+2i end{align}$

La soustraction se fait de la même manière :

Voir les exercices sur : Soustraction sous forme algébrique.

Soustraction de deux nombres complexes

Soient $z_1=-2+5i,$ et $z_2=1-3i,$ .

On a :

$begin{align} z_1-z_2&=(-2+5i)-(1-3i) &=(-2-1)+i(5-(-3)) &=-3+8i end{align}$

[modifier] Multiplication

Propriété

La multiplication de deux nombres complexes se fait en appliquant la règle de distributivité de la multiplication sur l'addition.

Pour $z_1=x_1+iy_1,$ et $z_2=x_2+iy_2,$ , on a :

$z_1times z_2=(x_1 + iy_1)times(x_2 + iy_2)=(x_1x_2)+(i^2y_1y_2)+i(x_1y_2 + y_1x_2)$

On sait de plus que $i^2=-1,$

Donc $z_1times z_2=(x_1x_2)-(y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2)$

Cette formule n'a pas à être retenue par cœur, il vaut mieux refaire le calcul dans chaque exemple.

[modifier] Exemples

Voir les exercices sur : Multiplication de nombres complexes.

Multiplication de deux nombres complexes

Soient $z_1 = -2 + 5i,$ et $z_2 = 1 - 3i,$ .
On a

$begin{align}z_1times z_2&=(-2+5i)times(1-3i) &=(-2times1)+i^2(5times-3)+i(-2times-3+1times5) &=-2+15+i(6+5)= 13+11iend{align}$

[modifier] Puissances de i

La propriété de i que nous allons voir ici est assez simple mais il ne faut pas l'oublier pour les calculs par la suite.
Sachant que $i^2=-1,$ , calculer les autres puissances de $i$ et représenter les images de $i$ dans le plan complexe.

$i^0=+1,$
$i^1=+i,$
$i^2=-1,$
$i^3=i^2times i=-i$
$i^4=i^2times i^2=+1$
$i^5=i^4times i=+i$
$i^6=i^4times i^2=-1$

...

$i^n=i^{4q}times i^r=i^r$

avec n = 4q+r : q étant la partie entière du quotient n/4 et r le reste de ce quotient.
Si n est un entier, r ne peut avoir que quatre valeurs différentes ( 0, 1, 2 et 3), et ainsi i ⁿ ne peut avoir que quatre valeurs :

+1 pour r = 0,
+ i pour r = 1,
-1 pour r = 2,
- i pour r = 3.

[modifier] Division

Division de deux nombres complexes

Soient $z_1=-2+5i,$ et $z_2=1-3i,$ .

On a $frac{z_1}{z_2}=frac{-2+5i}{1-3i}$

On est ici dans une impasse car il faudrait remonter i au numérateur

La division de deux nombres complexes sous forme algébrique utilise la notion de complexe conjugué, qui fait l'objet d'un chapitre spécifique.

[modifier] Exemple de manipulation des complexes : résolution des équations du second degré

Les nombres complexes ont été inventés car ils permettent (entre autres) de résoudre toutes les équations du second degré, même celles qui ont un discriminant négatif.

Exemple

L'équation $5x^2+2x+1=0,$ a pour discriminant :

$Delta=2^2-4times5times 1=4-20=-16$

Elle n'a donc pas de solutions réelles. En revanche, en passant dans l'ensemble des nombres complexes, nous pouvons écrire que :

$Delta=-16=16i^2=left(isqrt{16}right)^2=left(itimessqrt{4^2}right)^2={left(4iright)}^2$

Nous pouvons alors résoudre l'équation avec les formules habituelles :

$z_1=frac{-2+4i}{10}=frac{-1+2i}5$

$z_2=frac{-2-4i}{10}=frac{-1-2i}5$

L'équation du second degré $scriptstyle 5x^2+2x+1=0$ admet donc $z_1=frac{-1+2i}5$ et $z_2=frac{-1-2i}5$ comme solutions complexes.

Vous pouvez vous référer au cours sur les équations du second degré si nécessaire.

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[modifier] Les nombres réels et les imaginaires purs

[modifier] Note

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[modifier] Affixe d'un point du plan

[modifier] Affixe d'un vecteur

[modifier] Propriétés de l'affixe

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[modifier] Parallélisme et alignement

[modifier] Exemple

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[modifier] Exemples

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[modifier] Exemple de manipulation des complexes : résolution des équations du second degré

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