Probabilités sur les ensembles finis : Probabilités conditionnelles
Probabilités sur les ensembles finis/Probabilités conditionnelles
Une page de Wikiversité.
 |
|||
| Chapitre 3 | |||
| Leçon : Probabilités sur les ensembles finis | |||
|---|---|---|---|
| Chap. préc. : | Calcul des probabilités | ||
| Chap. suiv. : | Formule des probabilités totales | ||
Sommaire[masquer] |
[modifier] Probabilité de A sachant B
|
Définition |
|
Soient A et B deux événements d'un espace probabilisé. On définit la probabilité conditionnelle de A sachant B par :
|
[modifier] Exemples
- On lance un dé équilibré. On note B l'événement "obtenir un numéro pair" et A l'événement "obtenir 4".
Calculer PB(A) et interpréter ce calcul.
- On lance deux dés équilibrés et on calcule la somme des deux résultats.
Calculer la probabilité d'obtenir 8 sachant qu'un dé au moins possède un résultat supérieur ou égal à 5.
[modifier] Formule pratique
Dans les problèmes, c'est souvent la probabilité conditionnelle qui est connue. On utilise alors :
|
Propriété |
|
|
[modifier] Exemples
Dans un lot de pièces pouvant avoir deux défauts L et E, 8% ont E et 6% ont L.
Parmi les pièces qui ont le défaut E, 25% ont aussi le défaut L. Donner les probabilités suivantes :
[modifier] Indépendance de deux événements
Intuitivement, on dit que deux événements sont indépendants
quand la réalisation de l'un n'a pas d'influence sur celle de l'autre.
La définition formelle est la suivante :
|
Définition |
|
Deux événements A et B sont indépendants si :
|
[modifier] Exemples
- Dans un lot de pièces pouvant avoir deux défauts L et E, 8% ont E et 6% ont L.
Parmi les pièces qui ont le défaut E, 25% ont aussi le défaut L.
Les événements "Avoir E" et "Avoir L" sont-ils indépendants ?
- On lance succesivement deux dés équilibrés et on calcule la somme des deux résultats.
Les événements "Obtenir 8" et "Obtenir 5 avec le premier dé" sont-ils indépendants ?
Les événements "Obtenir 8" et "obtenir un numéro pair avec le premier dé" sont-ils indépendants ?
Probabilités sur les ensembles finis : Formule des probabilités totales
Probabilités sur les ensembles finis/Formule des probabilités totales
Une page de Wikiversité.
|
|
|||
| Chapitre 4 | |||
| Leçon : Probabilités sur les ensembles finis | |||
|---|---|---|---|
| Chap. préc. : | Probabilités conditionnelles | ||
[modifier] Partition
|
Définition |
|
Les événements
|
forment une partition de [modifier] Formule des probabilités totales
|
Théorème |
|
Étant donnée une partition Pour tout événement A on a : |
Variables aléatoires sur les ensembles finis : Indépendance de variables aléatoires
Variables aléatoires sur les ensembles finis/Indépendance de variables aléatoires
Une page de Wikiversité.
|
|
|||
| Chapitre 5 | |||
| Leçon : Variables aléatoires sur les ensembles finis | |||
|---|---|---|---|
| Chap. préc. : | Loi binomiale | ||
[modifier] Indépendance de deux variables aléatoires
|
Définition |
|
Soient X et Y deux variables aléatoires sur Ω. On note X et Y sont indépendantes si :
c'est-à-dire si :
|
les valeurs prises par X et 
celles prises par Y.
Remarque : Pour démontrer l'indépendance de deux variables aléatoires,
le plus simple est souvent de présenter les résultats dans un tableau à double entrée.
Exercice : Probabilités conditionnelles
Probabilités sur les ensembles finis/Exercice/Probabilités conditionnelles
Une page de Wikiversité.
|
|
|||
| Exercice 8 | |||
| Leçon : Probabilités sur les ensembles finis | |||
|---|---|---|---|
|
Cet exercice est de niveau 12. |
|||
Sommaire[masquer] |
[modifier] Test de dépistage
On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
Un test de dépistage d'une certaine maladie a les caractéristiques suivantes :
- le test appliqué à un malade est positif dans 90% des cas,
- le test appliqué à une personne saine est négatif dans 70% des cas.
On choisit au hasard une personne dans une population dont les deux tiers sont malades, et on lui fait subir le test.
On notera les événements :
- M : « la personne est malade »,
- P : « le test est positif »,
- S : « la personne est saine »,
- N : « le test est négatif ».
1. Faire un arbre pondéré de probabilités
- et traduire les données de l'énoncé en termes de probabilités (éventuellement conditionnelles).
2. Calculer la probabilité que le test soit positif pour la personne choisie.
3. Calculer la probabilité que le test donne une fausse idée de l'état de santé de la personne.
4 Calculer la valeur prédictive du test 
- et interpréter ce nombre.
