Introduction aux suites numériques : Suites arithmétiques
Introduction aux suites numériques/Suites arithmétiques

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**Suites arithmétiques**
Leçon : Introduction aux suites numériques

Chapitre 2
Chap. préc. :	Définitions
Chap. suiv. :	Suites géométriques

Sommaire

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[modifier] Définition par récurrence

Définition

Une suite est arithmétique quand on ajoute toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite arithmétique est donc définie par :

la donnée de son premier terme u₀
une relation de récurrence de la forme : $u_{n+1}=u_n+r,$

Le nombre r qui permet de passer d'un terme au suivant s'appelle la raison de la suite (u_n).

[modifier] Exercices d'application

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont arithmétiques ? Quelle est alors leur raison ?

$u_0=1,~u_1=3,~u_2=5,~u_3=7,~u_4=9,~u_5=11,~u_6=13,ldots$
2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, ...
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
7, 14, 28, 56, 112, 224, 448, ...
5, 3, 1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, ...

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Solution

[modifier] Terme général d'une suite arithmétique

Pour arriver à u_n, il faut ajouter n fois la raison r au premier terme u₀

Théorème

Le terme général d'une suite arithmétique (u_n) est donné par la formule :

$u_n=u_0+ntimes r$

[modifier] Utilisation du terme général

Soit $(u_n),$ une suite arithmétique telle que $u_0=-3,$ et $r = 3,5,$ . Calculer $u_{11},$ .
Soit $(v_n),$ une suite arithmétique telle que $v_0=24,$ et $r = -6,$ . Calculer $v_{25},$ .
Soit $(w_n),$ une suite arithmétique telle que $w_1=2,$ et $r = 6,25,$ . Calculer $w_{10},$ .
Soit $(s_n),$ une suite arithmétique telle que $s_{15}=2,$ et $r = 6,$ . Calculer $s_0,$ .
Soit $(t_n),$ une suite arithmétique telle que $t_{11}=25,$ et $t_4 = 6,$ . Calculer $t_0,$ et $r,$ .

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Solution

$u_{11} = -3 + 11times3,5 = 35,5,$
$v_{25} = 24 + -6times25 = -126,$
$w_{10} = 2 - 6,25 + 6,25times10 = 58,25,$
$s_0= 2 - 15 times 6 = -88,$
$t_{11}=t_4+7r,$ donc $r=frac{t_{11}-t_4}7=frac{19}7$ . De plus, $t_0=t_4-4r=6-4frac{19}7=-frac{34}7$ .

[modifier] Somme des termes d'une suite arithmétique

[modifier] Somme des premiers entiers

Comment calculer simplement ?

$S=1+2+3+ldots+98+99+100$

Il suffit d'utiliser la formule :

$S=1+2+3+ldots+n=frac{ntimes(n+1)}2$

On trouve donc :

$S=1+2+3+ldots+98+99+100=5050$

[modifier] Généralisation

Théorème

La somme des (n+1) premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule :

$u_0+u_1+cdots+u_n={(n+1)over 2}(u_0+u_n)$

La somme des termes d'une progression arithmétique est égale à la demi-somme des termes extrêmes multipliée par le nombre des termes de la suite.

[modifier] Calculs de sommes

En utilisant la formule, calculer :

$S=1+3+5+7+9+ldots+131=ldots$
$S=7+9+11+13+ldots+99=ldots$

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Solution

On remarque que (1,3,5...) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u₀=1
- 131=u₆₅
- L'application de la formule donne alors $S=1+3+5+7+9+ldots+131=frac{65+1}2(1+131)=4356$

On remarque que (7,9,11...) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u₀=7
- 99=u₄₆
- L'application de la formule donne alors $S=7+9+ldots+99=frac{46+1}2(7+99)=2491$

[modifier] Sens de variation

Théorème

Une suite arithmétique de raison r est :

croissante si $r > 0$
décroissante si $r < 0$
constante si $r = 0$ .

[modifier] Représentation graphique et lien avec les fonctions affines

Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, l'expression du terme général montre que :

si on définit la fonction affine $scriptstyle{f(x)=rtimes x+u_0}$ , alors $u n = f (n)$ .

Théorème

Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r,

si on place n en abscisse et u_n en ordonnée,

les points correspondants sont alignés sur la droite représentative de la fonction affine :

$f(x)=rtimes x+u_0$

Si u $n$ = a + bn , alors (u $n$ ) est une suite arithmétique de raison b et de premier terme a.

[modifier] Graphiques

Placer dans un repère orthogonal les 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u₀ = -3 et de raison 3,5. Quelle est l'équation de la droite sur laquelle ils sont alignés ?

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Solution

L'expression explicite des termes de cette suite est pour tout $ninmathbb N,~u_n=-3+3.5n$ .
Les points sont alors positionnés sur la droite d'équation $y=3.5x-3,$

Introduction aux suites numériques : Suites géométriques
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**Suites géométriques**
Leçon : Introduction aux suites numériques

Chapitre 3
Chap. préc. :	Suites arithmétiques
Chap. suiv. :	Comportement asymptotique

Sommaire

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[modifier] Définition par récurrence

Définition

Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite géométrique est donc définie par :

la donnée de son premier terme $u 0$
une relation de récurrence de la forme : $u_{n+1} = qtimes u_n,$

Le facteur q qui permet de passer d'un terme au suivant s'appelle la raison de la suite $(u n)$ .

[modifier] Être ou ne pas être une suite géométrique

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont géométriques ? Dans ce cas, donner leur raison.

$u_0 = 1,u_1 = 2, u_2 = 4, u_3 = 8, u_4 = 16, u_5 = 32, u_6 = 64, ...,$
3, 9, 27, 81, ...
1, -5, 25, -125, 625, ...
10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; ...
2, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

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Solution

La première suite est de raison 2
La deuxième suite est de raison 3
La troisième suite est de raison -5
La quatrième suite est de raison 0.5
La dernière n'est pas une suite géométrique

[modifier] Terme général d'une suite géométrique

Pour arriver à $u n$ , il faut multiplier n fois par la raison q le premier terme $u 0$

Théorème

Le terme général d'une suite géométrique $(u_n),$ est donné par la formule :

$u_n = q^n times u_0,$

[modifier] Utilisation du terme général

Soit $(u n)$ une suite géométrique telle que $u 0 = 3$ et q = 1,5. Calculer $u 11$
Soit $(u n)$ une suite géométrique telle que $u 0 = 0,5$ et q = -2. Calculer $u 25$
Soit $(u n)$ une suite géométrique telle que $u 1 = 8$ et q = 0,25. Calculer $u 10$
Soit $(u n)$ une suite géométrique telle que $u 15 = 3 20$ et q = 3. Calculer $u 0$
Soit $(u n)$ une suite géométrique telle que $u 11 = 25$ et $u 14 = 200$ . Calculer $u 0$ et q.

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Solution

1. $(u n)$ = $u 0$ x q^n car c'est une suite géométrique

  ssi  $u 11$  = 3 x 1,5^(11)
  ssi  $u 11$  = 259,5

2. $u 25$ = -16777216

[modifier] Sens de variation

Théorème

Une suite géométrique de premier terme positif et de raison q est :

croissante si $q > 1$
décroissante si $0 < q < 1$ (ou si $| q | < 1$ )
constante si $q = 1$ .

[modifier] Somme des termes d'une suite géométrique

Théorème

La somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :

$u_0 + u_{1} + cdots + u_n =u_0times frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

[modifier] Calculs de sommes

En utilisant la formule,

1. Soit $(u n)$ une suite géométrique telle que $u 0 = 3$ et q = 2. Calculer $S = u_0 + u_{1} + cdots + u_{20}$

2. Calculer $S = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + cdots + 59049$

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Solution

1. $S = 3 times frac{1-2^{20+1}}{1-2} = 6291453$

2. On remarque que le quotient est 3, que $u 0 = 1$ et que $u 10 = 59049$ . Ainsi, $S = 1 times frac{1-3^{10+1}}{1-3} = 88573$

[modifier] Exercice

Voir les exercices sur : Suites géométriques.

Voir les exercices sur : La spirale infernale.

Exercice : Exercices sur les suites arithmétiques
Introduction aux suites numériques/Exercice/Suites arithmétiques

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Leçon : Introduction aux suites numériques

Exercice 2
Chapitre du cours :	Suites géométriques
Cet exercice est de niveau 11.

Sommaire

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[modifier] Exercice 1

1. Soit $(U n)$ une suite arithmétique de raison 3,5 et de premier terme $U 0 = 2$ .

a. Calculer

(U 24)

b. Calculer

S 24 = U 0 + U 2 + ... + U 24

2. Soit $(V n)$ une suite arithmétique.

On donne $V 10 = 39$ et $V 30 = 84$ .

Calculer le premier terme $V 0$ et la raison de cette suite.

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Solution

1.a :

$begin{align} U_{24} & = U_0+ n times r & = 2 + 24 times 3,5 U_{24} & =86 end{align}$

[modifier] Exercice 2

1. Soit $(U n)$ une suite arithmétique de raison 2,5 et de premier terme $U 0 = 2$ .

a. Calculer $(U 14)$ .

b. Calculer $U 1 + U 2 + ... + U 14$

2. Soit $(V n)$ une suite arithmétique.

On donne $V 5 = 39$ et $V 14 = 84$ .

Calculer le premier terme $V 0$ et la raison de cette suite.

Masquer

Solution

1.a :

$begin{align} U_{14} & = U_0+ n times r & = 2 + 14 times 2,5 U_{14} & = 37 end{align}$

[modifier] Réseau

Le nombre d'abonnés d'un réseau téléphonique passe de 15 à 18 millions en un an. On suppose qu'ensuite il augmente chaque année régulièrement du même nombre : 3 millions par an.

Si on note U₀ = 15 000 000 le nombre d'abonnés initial, et U_n le nombre d'abonnés après n années, on a U₁ = 18 000 000.

1. Calculer U₁₀

2. Exprimer U_n en fonction de n.

Masquer

Solution

1. Bien que ce ne soit pas la méthode la plus efficace, nous allons suivre « bêtement » la définition de la suite pour calculer le dixième terme :

U₀ = 15 000 000
U₁ = U₀ + 3 000 000 = 18 000 000
U₂ = U₁ + 3 000 000 = 21 000 000
...
U₁₀ = U₉ + 3 000 000 = 45 000 000

2. La suite $left(U_nright)$ est une suite arithmétique, de raison r = 3 000 000. D'après le cours, on sait alors que pour tout n :

U_n = 15 000 000 + n × 3 000 000

[modifier] Chiffre d'affaire

Le chiffre d'affaires du rayon « petit outillage » d'un magasin s'accroît tous les ans de 50 000 F.

En 1997, le chiffre d'affaires C₀ était de 500 000 F. On note C_n le chiffre d'affaires au cours de l'année (1997 + n).

1. Expliquer pourquoi (C_n) est une suite arithmétique et donner sa raison r.

2. a. Exprimer C_n en fonction de n.

b. Calculer le chiffre d'affaire en 2005.

c. En quelle année peut-on prévoir un chiffre d'affaires de 1 050 000 F ?

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Solution

1. c'est une suite arithmétique car c'est une suite de forme $U_n = U_0 + ntimes r$ avec r= 50000

2. $U_n = 500 000 + n times 50 000$

n = 2005 - 1997 = 8

$U_8= 500 000 + 8 times 50 000 = 900 000$

$C_n = C_0 + n times r$

$1050000 = 500 000 + n times 5000$

$1050000-5000000 = n times 5000$

$550000 = n times5000$

$n= frac {550000}{50000}$

$n = 11$

[modifier] Chute libre

Un corps tombant en chute libre parcourt 4,9 m pendant la première seconde ; 14,7 m pendant la deuxième seconde ; 24,5 m pendant la troisième seconde et ainsi de suite. Ces distances sont les termes consécutifs d’une suite arithmétique.

1. Déterminer la distance parcourue pendant la dixième seconde.

2. Déterminer la distance parcourue en 10 secondes.

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Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

Exercice : Exercices sur les suites géométriques
Introduction aux suites numériques/Exercice/Suites géométriques

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Exercice 2
Chapitre du cours :	Suites géométriques
Cet exercice est de niveau 11.

Sommaire

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[modifier] Exercice 1

1. Soit $(U n)$ une suite géométrique de raison 1,5 et de premier terme $U 0 = 2$ .

a. Calculer

(U 9)

b. Calculer

S 9 = U 1 + U 2 + ... + U 9

2. Soit $(V n)$ une suite géométrique.

On donne $V 7 = 15309$ et $V 9 = 137781$ .

Calculer le premier terme $V 0$ et la raison $q$ de cette suite.

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Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Exercice 2

1. Soit $(U n)$ une suite géométrique de raison 1,5 et de premier terme $U 0 = 2$ .

a. Calculer

(U 7)

b. Calculer

S 7 = U 1 + U 2 + ... + U 7

2. Soit $(V n)$ une suite géométrique.

On donne $V 9 = 15309$ et $V 11 = 137781$ .

Calculer le premier terme $V 0$ et la raison $q$ de cette suite, sachant que la raison est positive.

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Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Bactéries

On note U₀ = 100 000 une population initiale de bactéries.

On remarque que tous les jours cette population est multipliée par 1,7.

1. Si U_n désigne la population après n jours, quelle est la nature de la suite (U_n) ? Justifier.

2. Calculer le nombre de bactéries après 10 jours.

3. En supposant que chaque jour, une bactérie donnée peut soit mourir, soit se diviser en deux.

Calculer le pourcentage de bactéries qui meurent à chaque étape.

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Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

[modifier] Du blé sur l'échiquier

On pose un grain de blé sur la première case d'un échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, etc. Combien de grain de blé faut-il pour remplir les 64 cases ?

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Solution

On pose sur chaque nouvelle case le double de ce que l'on a posé sur la case précédente. Ainsi, pour tout n, si on note u_n le nombre de grains posés sur la n-ième case :

u_n+1 = 2u_n

Avec u₀ = 1. Ainsi, (u_n) est une suite géométrique de raison q = 2.

Le nombre total de grains est égal à la quantité de grains sur la première case, ajoutée de celle sur la seconde, sur la troisième... et ainsi de suite : on cherche en fait la somme de (u_n) pour n entre 0 et 63.

N = u₁ + u₂ + ··· + u₆₃

S'agissant d'une somme géométrique, on sait d'après le cours que :

$N = frac{1 - 2^{64}}{1-2} = 2^{64} - 1$

Soit finalement, après un coup de calculette :

$N = 18;446;744;073;709;551;615 ; mathrm{grains}$

Remarque : c'est bien une somme jusqu'à u₆₃. En effet, de u₀ à u₆₃ inclus, il y a bien 64 termes.

[modifier] C'est tout bénéfice

Le bénéfice d'un entrepreneur augmente de 0.5% par mois pendant 10 ans.

La première année, il était de 200000 €.

Quel est son bénéfice total sur 10 ans ?

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Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

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[modifier] Exercices d'application

[modifier] Terme général d'une suite arithmétique

[modifier] Utilisation du terme général

[modifier] Somme des termes d'une suite arithmétique

[modifier] Somme des premiers entiers

[modifier] Généralisation

[modifier] Calculs de sommes

[modifier] Sens de variation

[modifier] Représentation graphique et lien avec les fonctions affines

[modifier] Graphiques

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[modifier] Être ou ne pas être une suite géométrique

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[modifier] Exercice

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[modifier] Réseau

[modifier] Chiffre d'affaire

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[modifier] Bactéries

[modifier] Du blé sur l'échiquier

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